?

Log in

No account? Create an account
Medeišio fanklubas
07 February 2017 @ 01:03 am

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Praėjusią savaitę buvo kalbama apie astronautų sveikatą, apie palydovų skrydį į Kentauro Alfą, apie galaktikų judėjimą Visatoje ir tamsiosios materijos anihiliaciją. Ir dar daug visokių įdomių dalykų buvo ištirta, atrasta ir paskelbta, o dešimt tų naujienų, kaip visada, rasite po kirpsniuku.
SveikstamCollapse )

 
 
Medeišio fanklubas

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Šiuo metu Marso paviršiuje skysto vandens greičiausiai nėra, o jei ir yra, tai labai retai ir labai trumpai. Bet praeityje, prieš tris ir daugiau milijardų metų, jo buvo daug. Kaip paaiškinti šį skirtumą? Naujame tyrime parodyta, kad geriausias paaiškinimas yra dar 1977-aisiais metais Carl'o Sagan'o iškelta hipotezė apie šiltnamio efektą.GaruojamCollapse )

 
 
Medeišio fanklubas
01 February 2017 @ 08:54 am

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Būna kartais taip, kad svajoji žmogus apie ką nors, svajoji, ir niekaip ta svajonė nesipildo. Tada nusprendi, kad teks pačiam ja užsiimti. Gerai, kai atsiranda bendraminčių, kurie svajonių turi panašių, ir galima sutelkti jėgas bendram darbui.

TechoCollapse )

 
 
Medeišio fanklubas
31 January 2017 @ 01:16 am

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Praeitą savaitę įvyko pokyčių NASA valdžioje, sužinojome šį tą naujo apie Saulės sistemos ir Žemės formavimąsi, apie egzomėnulių aptikimo perspektyvas ir net apie Visatos plėtimąsi. Kaip visada, dešimt naujienų – po kirpsniuku. Gero skaitymo!PučiamCollapse )

 
 
Medeišio fanklubas
26 January 2017 @ 01:36 pm

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Prieš kelias savaitės baigėsi ketvirtasis Mokslo populiarinimo konkursas. Jis sulaukė dvidešimt keturių darbų – panašiai, kaip ir ankstesnieji. Buvo atsiųsta pora tekstų, kurių negalėjome priimti (vienas – plagijatas, kitas – pseudomokslas), tačiau apskritai darbų įvairovė džiugina. Buvo ir socialinių mokslų, ir tiksliųjų, ir gamtos, ir aplink matomų dalykų paaiškinimo, ir moderniausių mokslinių tyrimų, ir ko tik nori kitko. O dabar atėjo metas paskelbti, kurie iš darbų yra patys geriausi.NugalėtojaiCollapse )

 
 
 
Medeišio fanklubas
24 January 2017 @ 09:18 am

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Kaip gaminami teleskopų veidrodžiai, kaip astronomija vyksta Antarktidoje, kuo maskuojasi asteroidai ir kodėl pulsarai skirtingai švyti regimųjų ir gama spindulių diapazone – apie visa tai, ir kitas įdomybes, šios savaitės kąsnelyje. Kaip visada, skaitykite po kirpsniuku.AtsispindimCollapse )

 
 
Medeišio fanklubas
22 January 2017 @ 12:02 pm

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Pristatau antrąjį iš trijų VU Matematikos ir informatikos instituto profesoriaus Leonido Sakalausko tekstų apie garsųjį matematiką Pierre Fermat ir jo palikimą. Šiame tekste, kurį rasite žemiau, rašoma apie šimtmečius trukusius bandymus įrodyti Paskutinę Ferma teoremą.

Read the rest of this entry »Collapse )

 
 
Medeišio fanklubas

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Paukščių Tako pakraštyje yra žvaigždžių, kurios kadaise priklausė kitai galaktikai. Šis kiek netikėtas atradimas padės nustatyti mūsų Galaktikos medžiagos pasiskirstymą ir tikėtiną aplinkinių galaktikų evoliuciją.VagiamCollapse )

 
 
Medeišio fanklubas
17 January 2017 @ 12:40 am

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Kuo užsiims NASA prie naujo JAV prezidento? Kada ir kaip susiformavo Mėnulis? Kiek energingų fotonų pabėga iš savo galaktikų? Atsakymai į šiuos ir kitus klausimus - Kąsnelyje. Kaip visada, skaitykite po kirpsniuku.TikrinamCollapse )

 
 
Medeišio fanklubas
17 January 2017 @ 12:40 am

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Kuo užsiims NASA prie naujo JAV prezidento? Kada ir kaip susiformavo Mėnulis? Kiek energingų fotonų pabėga iš savo galaktikų? Atsakymai į šiuos ir kitus klausimus - Kąsnelyje. Kaip visada, skaitykite po kirpsniuku.TikrinamCollapse )

 
 
 
Medeišio fanklubas

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Nors mokslo populiarinimo konkursas jau baigėsi, jam buvo atsiųstas dar vienas darbas. Tiksliau - darbų ciklas. Darbų autorius - VU Matematikos ir informatikos instituto profesorius Leonidas Sakalauskas. Jis rašo apie garsųjį matematiką Pierre Fermat bei jo atradimus. Skaitykite tekstą žemiau.

Matematikos mėgėjų kunigaiščio iššūkis keliems šimtmečiams

Leonidas Sakalauskas, VU Matematikos ir informatikos institutas

Didžiosios Ferma teoremos istorija yra unikali. Joje susipynė mirtis ir apgavystė, dėl jos vieni kovėsi dvikovoje, kiti nusivylę rasti įrodymą, baigdavo savo gyvenimą savižudybe. Už jos įrodymą buvo siūlomos premijos, dėl kurių varžėsi didžiausi protai. Šiame straipsnelyje papasakosime, kaip gimė šis matematikos trileris, užtrukęs kelis šimtmečius.

Pjeras de Ferma (1601-1665) ir Diofanto „Aritmetikos“ leidinys, kurio paraštėse jis rašė pastabas
Pjeras de Ferma (1601-1665) ir Diofanto „Aritmetikos“ leidinys, kurio paraštėse jis rašė pastabas

Mėgėjų kunigaikščio iššūkiai

Pjeras de Ferma pradėjo teisininko karjerą 1631 metais Prancūzijoje, Tulūzos parlamente patarėju. Jis neturėjo didelių politinių ambicijų ir todėl stengėsi veiksmingai atlikti savo pareigas, neatkreipdamas į save didelio dėmesio bei vengdamas netvarkos ar grubumo parlamente. Amžininkai jį apibūdindavo kaip sąžiningą, kruopštų, ramų ir malonų žmogų, turintį puikų matematinį bei humanitarinį išsilavinimą, daugelio senųjų ir gyvųjų kalbų žinovą, rašiusį nuostabias eiles. Visą savo energiją ir laisvą laiką, likdavusį nuo tarnybos, ponas Ferma skirdavo loginiams galvosūkiams spręsti, ir, kai jam nereikėjo posėdžiauti, pasiunčiant dar vieną nusidėjėlį ant laužo ar ešafoto, jis pasinerdavo į savo mėgstamą užsiėmimą. Nors Ferma nerašė jokių knygų, o tik laiškus draugams ar į galvą atėjusias geras mintis, palaipsniui jis tapo vienu iš labiausiai pripažintų Prancūzijos matematikų. Pagrindinis jo įkvėpimo šaltinis buvo 1621 metais išleistas lotyniškas Diofanto vadovėlio „Aritmetika“ vertimas. Spręsdamas Diofanto lygtis, o paskui pats pradėjęs kurti uždavinius bei teoremas, Ferma užsirašydavo tik pačius būtiniausius dalykus, reikalingus įsitikinti sprendimo teisingumu, ir nesivargindavo kur nors užrašyti likusį įrodymą. Dažniausiai paskubom padaryti užrašai keliaudavo tiesiai į šiukšlių dėžę, o Ferma ramiausiai pereidavo prie kito uždavinio. Laimei, jo turimas „Aritmetikos“ vertimas turėjo plačias paraštes, ir Ferma dažnai užrašydavo savo mintis ir komentarus jose. Pastabos paraštėse ir laiškai, parašyti kitiems to meto mokslininkams, tapo neįkainojamais, nors ir labai skurdžiais, ryškiausių Ferma skaičiavimų ir atradimų įrodymais. Ferma buvo tyrinėtojas mėgėjas, matematika nebuvo jo profesija, tad žinomas mokslo populiarintojas Erikas T. Belas, parašęs daugelio žymių matematikų biografijas, jį pakrikštijo „Mėgėjų kunigaikščiu“. Publikacijos ir pripažinimas jam nieko nereiškė, ir jis jautėsi laimingas, galėdamas netrikdomai atsiduoti savo aistrai įrodinėti ir kurti naujas teoremas. Ferma buvo geras šelmis ir, susisiekdamas su kitais matematikais, erzindavo juos savo paslaptingumu. Laiškuose išdėstęs savo naujausias teoremas ir nepateikęs jokių įrodymų, jis tarsi mesdavo iššūkį kitiems. Tai, jog jis niekada neatskleisdavo savo įrodymų, sukeldavo didelį nusivylimą. Rene Dekartas pavadino Ferma pagyrūnu, o anglų matematikas Džonas Valis vadindavo jį „tas prakeiktas prancūzas“. Kartą Ferma nustatė, kad skaičius 26 yra vienintelis, iš kurio atėmus 1, gausime kvadratą, o pridėjus 1 – kubą (iš tikrųjų, 26 - 1=5^2, 26 + 1=3^3), ir metė iššūkį matematikų bendrijai, siūlydamas tai įrodyti. Nepaisant uždavinio formuluotės paprastumo, jo sprendimas buvo gana sudėtingas, ir Ferma mėgavosi, šaipydamasis iš anglų matematikų D. Valio ir K. Digbio, kurie galų gale buvo priversti prisipažinti pralaimėję, nes nesugebėjo įveikti šio uždavinio.

Laimei, vyriausiasis Ferma sūnus, Klementas-Samiuelis, suvokęs visą didžiausios tėvo aistros reikšmę, nusprendė, jog jo atradimai neturėtų pradingti. Penkerius metus Klementas-Samiuelis rinko bei tyrė neaiškius tėvo užrašus bei pastabas „Aritmetikos“ paraštėse, ir atliko nepaprastai sudėtingą ir atsakingą darbą, 1670 metais Tulūzoje išleidęs knygą „Diofanto Aritmetika su p. de Ferma pastabomis“. Kai Ferma „pastabos“ tapo žinomos platesniam mokslininkų ratui, visi suprato, kad laiškai, kuriuos jis siųsdavo savo kolegoms, buvo tik trumpos ištraukos iš pasakiško atradimų lobyno. Tarp užrašytų Ferma ranka pastabų buvo gausu naujų teoremų, užrašytų visiškai be paaiškinimų, arba turėjusių tik nedidelę įrodymų santrauką, kurioje būdavo pateikiama tik keletą loginių žingsnių, leidžiančių suprasti, jog Ferma žinojo įrodymo seka.

[Error: Irreparable invalid markup ('<img [...] q^{1/2}">') in entry. Owner must fix manually. Raw contents below.]

<p><small>Originally published at <a href="http://www.konstanta.lt/2017/01/matematikos-megeju-kunigaiscio-issukis-keliems-simtmeciams/">Konstanta-42</a>. Please leave any <a href="http://www.konstanta.lt/2017/01/matematikos-megeju-kunigaiscio-issukis-keliems-simtmeciams/#comments">comments</a> there.</small></p><p>Nors mokslo populiarinimo konkursas jau baigėsi, jam buvo atsiųstas dar vienas darbas. Tiksliau - darbų ciklas. Darbų autorius - VU Matematikos ir informatikos instituto profesorius Leonidas Sakalauskas. Jis rašo apie garsųjį matematiką Pierre Fermat bei jo atradimus. Skaitykite tekstą žemiau.</p> <p align="CENTER"><strong>Matematikos mėgėjų kunigaiščio iššūkis keliems šimtmečiams</strong></p> <p style="text-align: right;" align="CENTER">Leonidas Sakalauskas, VU Matematikos ir informatikos institutas</p> <p>Didžiosios Ferma teoremos istorija yra unikali. Joje susipynė mirtis ir apgavystė, dėl jos vieni kovėsi dvikovoje, kiti nusivylę rasti įrodymą, baigdavo savo gyvenimą savižudybe. Už jos įrodymą buvo siūlomos premijos, dėl kurių varžėsi didžiausi protai. Šiame straipsnelyje papasakosime, kaip gimė šis matematikos trileris, užtrukęs kelis šimtmečius.</p> <div> <dl id="attachment_2906"> <dt> <figure style="width: 643px" class="wp-caption aligncenter"><a href="http://www.konstanta.lt/wp-content/uploads/2017/01/Leonidas_Sakalauskas_1_1.png" rel="attachment wp-att-2906"><img src="http://www.konstanta.lt/wp-content/uploads/2017/01/Leonidas_Sakalauskas_1_1.png" alt="Pjeras de Ferma (1601-1665) ir Diofanto „Aritmetikos“ leidinys, kurio paraštėse jis rašė pastabas" width="643" height="431" /></a><figcaption class="wp-caption-text">Pjeras de Ferma (1601-1665) ir Diofanto „Aritmetikos“ leidinys, kurio paraštėse jis rašė pastabas</figcaption></figure> </dt> <dd></dd> </dl> </div> <p><strong>Mėgėjų kunigaikščio iššūkiai </strong></p> <p>Pjeras de Ferma pradėjo teisininko karjerą 1631 metais Prancūzijoje, Tulūzos parlamente patarėju. J<span lang="lt-LT">is neturėjo didelių politinių ambicijų ir todėl stengėsi veiksmingai atlikti savo pareigas, neatkreipdamas į save didelio dėmesio bei vengdamas netvarkos ar grubumo parlamente. </span><span lang="lt-LT">Amžininkai jį apibūdindavo kaip sąžiningą, kruopštų, ramų ir malonų žmogų, turintį puikų matematinį bei humanitarinį išsilavinimą, daugelio senųjų ir gyvųjų kalbų žinovą, rašiusį nuostabias eiles. </span><span lang="lt-LT">Visą savo energiją ir laisvą laiką, likdavusį nuo tarnybos, ponas Ferma skirdavo loginiams galvosūkiams spręsti, ir, kai jam nereikėjo posėdžiauti, pasiunčiant dar vieną nusidėjėlį ant laužo ar ešafoto, jis pasinerdavo į savo mėgstamą užsiėmimą. Nors Ferma nerašė jokių knygų, o tik laiškus draugams ar į galvą atėjusias geras mintis, palaipsniui jis tapo vienu iš labiausiai pripažintų Prancūzijos matematikų. Pagrindinis jo įkvėpimo šaltinis buvo 1621 metais išleistas lotyniškas Diofanto vadovėlio „Aritmetika“ vertimas. Spręsdamas Diofanto lygtis, o paskui pats pradėjęs kurti uždavinius bei teoremas, Ferma užsirašydavo tik pačius būtiniausius dalykus, reikalingus įsitikinti sprendimo teisingumu, ir nesivargindavo kur nors užrašyti likusį įrodymą. Dažniausiai paskubom padaryti užrašai keliaudavo tiesiai į šiukšlių dėžę, o Ferma ramiausiai pereidavo prie kito uždavinio. Laimei, jo turimas „Aritmetikos“ vertimas turėjo plačias paraštes, ir Ferma dažnai užrašydavo savo mintis ir komentarus jose. Pastabos paraštėse ir laiškai, parašyti kitiems to meto mokslininkams, tapo neįkainojamais, nors ir labai skurdžiais, ryškiausių Ferma skaičiavimų ir atradimų įrodymais. Ferma buvo tyrinėtojas mėgėjas, matematika nebuvo jo profesija, tad žinomas mokslo populiarintojas Erikas T. Belas, parašęs daugelio žymių matematikų biografijas, jį pakrikštijo „Mėgėjų kunigaikščiu“. Publikacijos ir pripažinimas jam nieko nereiškė, ir jis jautėsi laimingas, galėdamas netrikdomai atsiduoti savo aistrai įrodinėti ir kurti naujas teoremas. Ferma buvo geras šelmis ir, susisiekdamas su kitais matematikais, erzindavo juos savo paslaptingumu. Laiškuose išdėstęs savo naujausias teoremas ir nepateikęs jokių įrodymų, jis tarsi mesdavo iššūkį kitiems. Tai, jog jis niekada neatskleisdavo savo įrodymų, sukeldavo didelį nusivylimą. Rene Dekartas pavadino Ferma pagyrūnu, o anglų matematikas Džonas Valis vadindavo jį „tas prakeiktas prancūzas“. Kartą Ferma nustatė, kad skaičius 26 yra vienintelis, iš kurio atėmus 1, gausime kvadratą, o pridėjus 1 – kubą (iš tikrųjų, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_4e834ef3514d81c748574a8fb52cc31f.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="26 - 1=5^2" /></span><script type='math/tex'>26 - 1=5^2</script>, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_8904b36781eb66ab82cf6407c379bda6.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="26 + 1=3^3" /></span><script type='math/tex'>26 + 1=3^3</script>), ir metė iššūkį matematikų bendrijai, siūlydamas tai įrodyti. Nepaisant uždavinio formuluotės paprastumo, jo sprendimas buvo gana sudėtingas, ir Ferma mėgavosi, šaipydamasis iš anglų matematikų D. Valio ir K. Digbio, kurie galų gale buvo priversti prisipažinti pralaimėję, nes nesugebėjo įveikti šio uždavinio.</span></p> <p>Laimei, vyriausiasis Ferma sūnus, Klementas-Samiuelis, suvokęs visą didžiausios tėvo aistros reikšmę, nusprendė, jog jo atradimai neturėtų pradingti. Penkerius metus Klementas-Samiuelis rinko bei tyrė neaiškius tėvo užrašus bei pastabas „Aritmetikos“ paraštėse, ir atliko nepaprastai sudėtingą ir atsakingą darbą, 1670 metais Tulūzoje išleidęs knygą „Diofanto Aritmetika su p. de Ferma pastabomis“. Kai Ferma „pastabos“ tapo žinomos platesniam mokslininkų ratui, visi suprato, kad laiškai, kuriuos jis siųsdavo savo kolegoms, buvo tik trumpos ištraukos iš pasakiško atradimų lobyno. Tarp užrašytų Ferma ranka pastabų buvo gausu naujų teoremų, užrašytų visiškai be paaiškinimų, arba turėjusių tik nedidelę įrodymų santrauką, kurioje būdavo pateikiama tik keletą loginių žingsnių, leidžiančių suprasti, jog Ferma žinojo įrodymo seka.</p> <div> <dl id="attachment_2907"> <dt> <figure style="width: 810px" class="wp-caption aligncenter"><a href="http://www.konstanta.lt/wp-content/uploads/2017/01/Leonidas_Sakalauskas_1_2.png" rel="attachment wp-att-2907"><img src="http://www.konstanta.lt/wp-content/uploads/2017/01/Leonidas_Sakalauskas_1_2-1024x299.png" alt="Ferma spiralė, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_ad774a2e0cd9107d7243c9b1043bb474.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="r=\pm q^{1/2}" /></span><script type='math/tex'>r=\pm q^{1/2}</script>, r – spiralės taško atstumas nuo centro, q – jo posūkio nuo horizontalios ašies kampas" width="810" height="237" /></a><figcaption class="wp-caption-text">1 pav. Ferma spiralė, r=+- q^1/2, r – spiralės taško atstumas nuo centro, q – jo posūkio nuo horizontalios ašies kampas</figcaption></figure> </dt> <dd></dd> </dl> </div> <p>Čia vertėtų prisiminti, jog Ferma gyveno ir kūrė baigiantis vėlyvojo Renesanso epochai, kai Europoje suklestėjo baroko architektūra, menai ir knygų leidyba. Tą laikmetį geriausiai apibūdina posakis, jog trys gražiausi pasaulyje dalykai yra šokanti moteris, šuoliuojantis žirgas ir išskleistomis burėmis plaukiantis laivas. Kultūros klestėjimą lydėjo spartus pramonės ir prekybos vystymasis, nulėmęs daugelio mokslų atsiradimą ir raidą. <span lang="lt-LT">Nors Pjeras de Ferma domėjosi, iš pirmo žvilgsnio, nereikšmingais galvosūkiais, jo įžvalgų galima atrasti daugelio mokslų, pradėjusių savo plėtotę tuo metu, ištakose, ir nemažai jų pasiekė net mūsų laikus. 1636 m. Ferma atrado spiralę, vėliau pavadintą jo vardu, kurią, pasirodo, galima pritaikyti saulėgrąžos, ramunių ar kitų astrinių (graižažiedžių) augalų žiedynams aprašyti (1 pav.), bet ne tik tuo tikslu. Dabar randama būdų, kaip šią spiralę būtų galima pritaikyti kompiuterių grafikoje arba išdėstyti jos elementus saulės elektrinių veidrodžiuose, ir pan. O vyresniųjų klasių moksleiviams mokyklose dažnai tenka spręsti uždavinius, taikant minimumo arba maksimumo sąlygą, kurią pirmasis nustatė Ferma. Nepriklausomai nuo Dekarto jis pradėjo algebrines išraiškas vaizduoti geometriškai, t.y., sukūrė analitinės geometrijos pradmenis. Jis mokėjo anksčiau už Izaoką Niutoną taikyti diferencijavimo ir integravimo metodus sudėtingų figūrų plotams apskaičiuoti arba išvesti liestinėms. Beje, I. Niutonas minėjo, kad, būtent, pažintis su Ferma darbais jį paskatino sukurti diferencialinį ir integralinį skaičiavimą. Kartu su Paskaliu Ferma gali būti laikomas tikimybių teorijos pradininku. Ferma vardu pavadintas pagrindinis geometrinės optikos dėsnis, pagal kurį šviesa sklinda tokiu keliu nevienalytėje terpėje, kuriam reikia trumpiausio laiko ir t. t.</span></p> <p>Tačiau didžiausių nuopelnų Ferma pasiekė skaičių teorijoje. Ferma atrado, jei a nesidalija iš p ir p yra pirminis, tai (<span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_02c9e9fbfdf9808ca92e2699d0620080.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="a^{p-1} - 1" /></span><script type='math/tex'>a^{p-1} - 1</script>) dalijasi iš p. Pavyzdžiui, tegul a=2, p=7. Skaičius 7 yra, be abejo, pirminis. Taigi, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_3a8915de5d1781d75e0fa02bf36d8320.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="a^{p-1} - 1 = 2^{7-1} - 1 = 63 = 7 \cdot 9" /></span><script type='math/tex'>a^{p-1} - 1 = 2^{7-1} - 1 = 63 = 7 \cdot 9</script>.</p> <p>Šis rezultatas, pavadintas Mažąja Ferma teorema, turi labai daug apibendrinimų bei pritaikymų. Skaitytojams siūlome priimti Mėgėjų kunigaikščio iššūkį ir pabandyti šią teoremą įrodyti patiems. Tie, kam pritrūks kantrybės, gali rasti įrodymą straipsnelio pabaigoje.</p> <p>Ferma taip pat teigė, jog bet kurį pirminį skaičių, kuris dalijasi iš 4 su liekana 1, galima išreikšti dviejų kvadratų suma, ir tik vieninteliu būdu, o besidalijantį iš 4 su liekana 3, taip išreikšti jau nebegalima. Ir iš tikrųjų: <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_396a136ca655294787e9a18546e392ca.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="5=2^2 + 1^2" /></span><script type='math/tex'>5=2^2 + 1^2</script>; <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_1f0d630d7aab8d978be137d733783bf3.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="13=3^2+2^2" /></span><script type='math/tex'>13=3^2+2^2</script>, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_d7a875e71604f4f41584e67e6fb9644c.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="17= 4^2 + 1^2" /></span><script type='math/tex'>17= 4^2 + 1^2</script>, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_3bde5c71067f2d0732e27d1598d0e3f1.gif' style='vertical-align: middle; border: none; padding-bottom:2px;' class='tex' alt="\dots" /></span><script type='math/tex'>\dots</script> , o <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_2d913e60b3dd5fa08be63362560369af.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="23 = 4\cdot5 + 3" /></span><script type='math/tex'>23 = 4\cdot5 + 3</script> šitaip išreikšti jau nebeįmanoma. Vienas žymiausių visų laikų matematikų, šveicaras Leonardas Euleris, daug metų dirbęs Sankt Peterburge, sugaišo 7 metus, kol įrodė šią Ferma hipotezę, kurią pats Ferma įrodinėjo jo atrastu “nusileidimo metodu”. Ferma taip pat sukūrė skaičiaus daliklių sistemingo radimo būdą, atrado, jog bet kurį sveikąjį skaičių galima išreikšti ne daugiau nei keturių kvadratų suma bei daugybė kitų atradimų, kurie aplenkė savo laikmetį, buvo pamiršti ir po ilgo laiko vėl atrasti.</p> <p>1989 m. Tulūzos universitetas įsteigė Ferma premiją (20 000 Eur), kuri kas dveji metai įteikiama už reikšmingus tyrimus mokslo srityse, prie kurių ištakų jis prisidėjo. Viso jau įteikta 14 premijų.</p> <p><strong>Matematikos trilerio pradžia</strong></p> <p>O didžiausios šlovės sulaukė Ferma iššūkis, kurį jis metė visam pasauliui. Tikriausiai, daugelis skaitytojų iš vidurinės mokyklos matematikos pamokų dar prisimena Pitagoro teoremą, tvirtinančią, jog stataus trikampio statinių kvadratų suma yra lygi įstrižainės kvadratui? Sprendiniai, kuriuos galima išreikšti sveikais skaičiais, yra įdomiausi, pvz., jei stačiakampio kambario sienų ilgiai yra atitinkamai 3m ir 4m, tai nesunku įsitikinti, jog atstumas tarp tolimiausių kambario kampų bus 5m, nes <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_cee2f7da80b8bed0fb6a32465ed8978a.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="9 + 16 = 25" /></span><script type='math/tex'>9 + 16 = 25</script>, t.y., <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_b296e6b49ff070377fbf9fedc5929ab4.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="3^2 + 4^2 = 5^2" /></span><script type='math/tex'>3^2 + 4^2 = 5^2</script>. Taigi, perrašinėdamas įvairiais būdais Pitagoro lygtį, Ferma mėgino pastebėti kažką tokio, ko nepastebėjo kiti. Staiga jam kilo geniali mintis, kuri padarė Mėgėjų kunigaikščio vardą nemirtingą.</p> <p>Ferma sugalvojo lygtį, labai panašią į Pitagoro:</p> <p align="CENTER"><span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_ba5af5de44ecd6964b3f80b676045a2a.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="x^n + y^n = z^n" /></span><script type='math/tex'>x^n + y^n = z^n</script>,</p> <p>kuri, jo nuomone, neturi nė vieno sveikaskaičio sprendinio! Diofanto „Aritmetikos“ paraštėse Ferma 1637 m. paliko tokį pastebėjimą: „Neįmanoma kubo užrašyti dviejų kubų suma, arba ketvirtą laipsnį užrašyti ketvirtų laipsnių suma, arba, bendrai bet kuriam skaičiui, kuris yra aukštesnio laipsnio, nei antras, būti užrašytam dviejų to paties laipsnio skaičių suma. Aš radau iš tiesų nuostabų šio teiginio įrodymą, bet paraštės čia per siauros jam sutalpinti.“ Ir tame visas Ferma! Nors jis niekam neatskleidė savo įrodymo, garsas apie Didžiąją Ferma teoremą, kaip ji vėliau buvo pradėta vadinti, pasklido labai plačiai.</p> <p>Per dešimtmečius ir šimtmečius, praėjusius po knygos su Ferma pastabomis išleidimo, viena po kitos buvo patikrintos arba įrodytos visos Ferma pastabos, užrašytos Diofanto „Aritmetikos“ paraštėse, bet pastangos įrodyti Didžiąją Ferma teoremą likdavo bergždžios, nors spręsti šį uždavinį ėmėsi daugelis profesionalių matematikų ir matematikos mėgėjų. Apie šio matematikos trilerio peripetijas pakalbėsime kitąkart, nes viename straipsnelyje jas nėra paprasta išguldyti.</p> <p><strong>Mažosios Ferma teoremos įrodymas</strong></p> <p>Įrodysime prieštaros būdu, kad jei <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_b5569b7982357230d5fa7b02ee8ead86.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="a^{p-1}" /></span><script type='math/tex'>a^{p-1}</script> nesidalija iš p, tai padalijus visus sekos <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_8fb7dd4585e68c3b54875b137b19d6af.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="1\cdot a, 2\cdot a, 3\cdot a, \ldots, (p-1) \cdot a" /></span><script type='math/tex'>1\cdot a, 2\cdot a, 3\cdot a, \ldots, (p-1) \cdot a</script> narius iš p, liekanos irgi bus skirtingos. Iš tikrųjų, sakykime, tegul pavyktų rasti du skirtingus šios sekos narius, besidalijančius iš p su vienodomis liekanomis. Tuomet šių skaičių skirtumas, be abejo, turi dalintis iš p, nes liekanos juk vienodos. Kita vertus, kadangi visi sekos nariai dalijasi iš a, bet kurių skirtingų šios sekos narių skirtumas turi dalintis iš a taip pat. Kadangi skaičius a nesidalija iš p pagal padarytą prielaidą, minėtas skirtumas turi dalintis iš sandaugos a∙p. Kita vertus, skirtingų sekos skaičių skirtumas yra nelygus nuliui, tad jo mažiausia galima reikšmė yra a∙p. Tačiau nagrinėjamoje sekoje visi skaičiai mažesni už a∙p, tad ir jų skirtumas turi būti mažesnis (absoliutiniu didumu) už šį skaičių. Gavome prieštaravimą, nes padalinti skaičių iš didesniojo ir gauti sveiką dalmenį yra neįmanoma. Taigi, įrodėme, jog dalijant aukščiau minėtos sekos narius iš p, bus gautos skirtingos liekanos. Tad liekanos, kurių iš viso yra (p - 1), turi būti skirtingos ir mažesnės už p. Tai įmanoma tik tokiu atveju, kai liekanų aibę sudaro visi skaičiai nuo 1 iki p – 1.<br /> Pažymėkime, kaip įprasta matematikoje, visų skaičių nuo 1 iki p-1 sandaugą per <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_578419a964d1ce4260dc1a21d8cd3159.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt=" (p - 1)! " /></span><script type='math/tex'> (p - 1)! </script>, t.y. <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_cc9910b40bf389056aba25019ca0f43a.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt=" 1\cdot 2\cdot 3 \ldots\cdot (p - 1) =(p - 1)! " /></span><script type='math/tex'> 1\cdot 2\cdot 3 \ldots\cdot (p - 1) =(p - 1)! </script>. Dabar sudauginkime visus nagrinėjamos sekos narius ir gautą sandaugą užrašykime tokiu būdu:</p> <p align="CENTER"><span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_306cb02ec42106c5a5c7acd3423052d8.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="1\cdot a\cdot 2\cdot a\cdot 3\cdot a\cdot \ldots \cdot (p - 1) \cdot a=(p - 1)! \cdot a^{p-1}" /></span><script type='math/tex'>1\cdot a\cdot 2\cdot a\cdot 3\cdot a\cdot \ldots \cdot (p - 1) \cdot a=(p - 1)! \cdot a^{p-1}</script>.</p> <p>Kadangi nė vienas šios sandaugos dauginamasis nesidalija iš p, iš p nesidalija ir visa sandauga. Nesunku pastebėti, jog šią sandaugą padalijus iš p, gauta liekana sutaps su visų dauginamųjų liekanų sandaugos liekana. O ką tik įrodėme, jog ši dauginamųjų liekanų sandauga sutaps su visų skirtingų skaičių nuo 1 iki p-1 sandauga, t.y., <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_578419a964d1ce4260dc1a21d8cd3159.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt=" (p - 1)! " /></span><script type='math/tex'> (p - 1)! </script> Taigi, gausime, kad <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_0cff569ed83043235f102281dfca92b7.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt=" (p - 1)! \cdot a^{p-1} " /></span><script type='math/tex'> (p - 1)! \cdot a^{p-1} </script> ir <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_578419a964d1ce4260dc1a21d8cd3159.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt=" (p - 1)! " /></span><script type='math/tex'> (p - 1)! </script> , dalijant iš p, turi tą pačią liekaną. Iš čia seka, kad skirtumas <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_4fa52f53483f61d733a651d7f83ae739.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt=" (p - 1)! \cdot a^{p-1} - (p - 1)! " /></span><script type='math/tex'> (p - 1)! \cdot a^{p-1} - (p - 1)! </script> turi dalintis iš p. Pastarąją išraišką suprastinę iš nesidalijančio iš p skaičiaus <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_578419a964d1ce4260dc1a21d8cd3159.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt=" (p - 1)! " /></span><script type='math/tex'> (p - 1)! </script> (juk p pirminis!), gauname, jog <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_02c9e9fbfdf9808ca92e2699d0620080.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="a^{p-1} - 1" /></span><script type='math/tex'>a^{p-1} - 1</script> turi dalintis iš p, ką ir reikėjo įrodyti.</p>
 
 
Medeišio fanklubas

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Nors mokslo populiarinimo konkursas jau baigėsi, jam buvo atsiųstas dar vienas darbas. Tiksliau - darbų ciklas. Darbų autorius - VU Matematikos ir informatikos instituto profesorius Leonidas Sakalauskas. Jis rašo apie garsųjį matematiką Pierre Fermat bei jo atradimus. Skaitykite tekstą žemiau.

Matematikos mėgėjų kunigaiščio iššūkis keliems šimtmečiams

Leonidas Sakalauskas, VU Matematikos ir informatikos institutas

Didžiosios Ferma teoremos istorija yra unikali. Joje susipynė mirtis ir apgavystė, dėl jos vieni kovėsi dvikovoje, kiti nusivylę rasti įrodymą, baigdavo savo gyvenimą savižudybe. Už jos įrodymą buvo siūlomos premijos, dėl kurių varžėsi didžiausi protai. Šiame straipsnelyje papasakosime, kaip gimė šis matematikos trileris, užtrukęs kelis šimtmečius.

Pjeras de Ferma (1601-1665) ir Diofanto „Aritmetikos“ leidinys, kurio paraštėse jis rašė pastabas
Pjeras de Ferma (1601-1665) ir Diofanto „Aritmetikos“ leidinys, kurio paraštėse jis rašė pastabas

Mėgėjų kunigaikščio iššūkiai

Pjeras de Ferma pradėjo teisininko karjerą 1631 metais Prancūzijoje, Tulūzos parlamente patarėju. Jis neturėjo didelių politinių ambicijų ir todėl stengėsi veiksmingai atlikti savo pareigas, neatkreipdamas į save didelio dėmesio bei vengdamas netvarkos ar grubumo parlamente. Amžininkai jį apibūdindavo kaip sąžiningą, kruopštų, ramų ir malonų žmogų, turintį puikų matematinį bei humanitarinį išsilavinimą, daugelio senųjų ir gyvųjų kalbų žinovą, rašiusį nuostabias eiles. Visą savo energiją ir laisvą laiką, likdavusį nuo tarnybos, ponas Ferma skirdavo loginiams galvosūkiams spręsti, ir, kai jam nereikėjo posėdžiauti, pasiunčiant dar vieną nusidėjėlį ant laužo ar ešafoto, jis pasinerdavo į savo mėgstamą užsiėmimą. Nors Ferma nerašė jokių knygų, o tik laiškus draugams ar į galvą atėjusias geras mintis, palaipsniui jis tapo vienu iš labiausiai pripažintų Prancūzijos matematikų. Pagrindinis jo įkvėpimo šaltinis buvo 1621 metais išleistas lotyniškas Diofanto vadovėlio „Aritmetika“ vertimas. Spręsdamas Diofanto lygtis, o paskui pats pradėjęs kurti uždavinius bei teoremas, Ferma užsirašydavo tik pačius būtiniausius dalykus, reikalingus įsitikinti sprendimo teisingumu, ir nesivargindavo kur nors užrašyti likusį įrodymą. Dažniausiai paskubom padaryti užrašai keliaudavo tiesiai į šiukšlių dėžę, o Ferma ramiausiai pereidavo prie kito uždavinio. Laimei, jo turimas „Aritmetikos“ vertimas turėjo plačias paraštes, ir Ferma dažnai užrašydavo savo mintis ir komentarus jose. Pastabos paraštėse ir laiškai, parašyti kitiems to meto mokslininkams, tapo neįkainojamais, nors ir labai skurdžiais, ryškiausių Ferma skaičiavimų ir atradimų įrodymais. Ferma buvo tyrinėtojas mėgėjas, matematika nebuvo jo profesija, tad žinomas mokslo populiarintojas Erikas T. Belas, parašęs daugelio žymių matematikų biografijas, jį pakrikštijo „Mėgėjų kunigaikščiu“. Publikacijos ir pripažinimas jam nieko nereiškė, ir jis jautėsi laimingas, galėdamas netrikdomai atsiduoti savo aistrai įrodinėti ir kurti naujas teoremas. Ferma buvo geras šelmis ir, susisiekdamas su kitais matematikais, erzindavo juos savo paslaptingumu. Laiškuose išdėstęs savo naujausias teoremas ir nepateikęs jokių įrodymų, jis tarsi mesdavo iššūkį kitiems. Tai, jog jis niekada neatskleisdavo savo įrodymų, sukeldavo didelį nusivylimą. Rene Dekartas pavadino Ferma pagyrūnu, o anglų matematikas Džonas Valis vadindavo jį „tas prakeiktas prancūzas“. Kartą Ferma nustatė, kad skaičius 26 yra vienintelis, iš kurio atėmus 1, gausime kvadratą, o pridėjus 1 – kubą (iš tikrųjų, 26 - 1=5^2, 26 + 1=3^3), ir metė iššūkį matematikų bendrijai, siūlydamas tai įrodyti. Nepaisant uždavinio formuluotės paprastumo, jo sprendimas buvo gana sudėtingas, ir Ferma mėgavosi, šaipydamasis iš anglų matematikų D. Valio ir K. Digbio, kurie galų gale buvo priversti prisipažinti pralaimėję, nes nesugebėjo įveikti šio uždavinio.

Laimei, vyriausiasis Ferma sūnus, Klementas-Samiuelis, suvokęs visą didžiausios tėvo aistros reikšmę, nusprendė, jog jo atradimai neturėtų pradingti. Penkerius metus Klementas-Samiuelis rinko bei tyrė neaiškius tėvo užrašus bei pastabas „Aritmetikos“ paraštėse, ir atliko nepaprastai sudėtingą ir atsakingą darbą, 1670 metais Tulūzoje išleidęs knygą „Diofanto Aritmetika su p. de Ferma pastabomis“. Kai Ferma „pastabos“ tapo žinomos platesniam mokslininkų ratui, visi suprato, kad laiškai, kuriuos jis siųsdavo savo kolegoms, buvo tik trumpos ištraukos iš pasakiško atradimų lobyno. Tarp užrašytų Ferma ranka pastabų buvo gausu naujų teoremų, užrašytų visiškai be paaiškinimų, arba turėjusių tik nedidelę įrodymų santrauką, kurioje būdavo pateikiama tik keletą loginių žingsnių, leidžiančių suprasti, jog Ferma žinojo įrodymo seka.

[Error: Irreparable invalid markup ('<img [...] q^{1/2}">') in entry. Owner must fix manually. Raw contents below.]

<p><small>Originally published at <a href="http://www.konstanta.lt/2017/01/matematikos-megeju-kunigaiscio-issukis-keliems-simtmeciams/">Konstanta-42</a>. Please leave any <a href="http://www.konstanta.lt/2017/01/matematikos-megeju-kunigaiscio-issukis-keliems-simtmeciams/#comments">comments</a> there.</small></p><p>Nors mokslo populiarinimo konkursas jau baigėsi, jam buvo atsiųstas dar vienas darbas. Tiksliau - darbų ciklas. Darbų autorius - VU Matematikos ir informatikos instituto profesorius Leonidas Sakalauskas. Jis rašo apie garsųjį matematiką Pierre Fermat bei jo atradimus. Skaitykite tekstą žemiau.</p> <p align="CENTER"><strong>Matematikos mėgėjų kunigaiščio iššūkis keliems šimtmečiams</strong></p> <p style="text-align: right;" align="CENTER">Leonidas Sakalauskas, VU Matematikos ir informatikos institutas</p> <p>Didžiosios Ferma teoremos istorija yra unikali. Joje susipynė mirtis ir apgavystė, dėl jos vieni kovėsi dvikovoje, kiti nusivylę rasti įrodymą, baigdavo savo gyvenimą savižudybe. Už jos įrodymą buvo siūlomos premijos, dėl kurių varžėsi didžiausi protai. Šiame straipsnelyje papasakosime, kaip gimė šis matematikos trileris, užtrukęs kelis šimtmečius.</p> <div> <dl id="attachment_2906"> <dt> <figure style="width: 643px" class="wp-caption aligncenter"><a href="http://www.konstanta.lt/wp-content/uploads/2017/01/Leonidas_Sakalauskas_1_1.png" rel="attachment wp-att-2906"><img src="http://www.konstanta.lt/wp-content/uploads/2017/01/Leonidas_Sakalauskas_1_1.png" alt="Pjeras de Ferma (1601-1665) ir Diofanto „Aritmetikos“ leidinys, kurio paraštėse jis rašė pastabas" width="643" height="431" /></a><figcaption class="wp-caption-text">Pjeras de Ferma (1601-1665) ir Diofanto „Aritmetikos“ leidinys, kurio paraštėse jis rašė pastabas</figcaption></figure> </dt> <dd></dd> </dl> </div> <p><strong>Mėgėjų kunigaikščio iššūkiai </strong></p> <p>Pjeras de Ferma pradėjo teisininko karjerą 1631 metais Prancūzijoje, Tulūzos parlamente patarėju. J<span lang="lt-LT">is neturėjo didelių politinių ambicijų ir todėl stengėsi veiksmingai atlikti savo pareigas, neatkreipdamas į save didelio dėmesio bei vengdamas netvarkos ar grubumo parlamente. </span><span lang="lt-LT">Amžininkai jį apibūdindavo kaip sąžiningą, kruopštų, ramų ir malonų žmogų, turintį puikų matematinį bei humanitarinį išsilavinimą, daugelio senųjų ir gyvųjų kalbų žinovą, rašiusį nuostabias eiles. </span><span lang="lt-LT">Visą savo energiją ir laisvą laiką, likdavusį nuo tarnybos, ponas Ferma skirdavo loginiams galvosūkiams spręsti, ir, kai jam nereikėjo posėdžiauti, pasiunčiant dar vieną nusidėjėlį ant laužo ar ešafoto, jis pasinerdavo į savo mėgstamą užsiėmimą. Nors Ferma nerašė jokių knygų, o tik laiškus draugams ar į galvą atėjusias geras mintis, palaipsniui jis tapo vienu iš labiausiai pripažintų Prancūzijos matematikų. Pagrindinis jo įkvėpimo šaltinis buvo 1621 metais išleistas lotyniškas Diofanto vadovėlio „Aritmetika“ vertimas. Spręsdamas Diofanto lygtis, o paskui pats pradėjęs kurti uždavinius bei teoremas, Ferma užsirašydavo tik pačius būtiniausius dalykus, reikalingus įsitikinti sprendimo teisingumu, ir nesivargindavo kur nors užrašyti likusį įrodymą. Dažniausiai paskubom padaryti užrašai keliaudavo tiesiai į šiukšlių dėžę, o Ferma ramiausiai pereidavo prie kito uždavinio. Laimei, jo turimas „Aritmetikos“ vertimas turėjo plačias paraštes, ir Ferma dažnai užrašydavo savo mintis ir komentarus jose. Pastabos paraštėse ir laiškai, parašyti kitiems to meto mokslininkams, tapo neįkainojamais, nors ir labai skurdžiais, ryškiausių Ferma skaičiavimų ir atradimų įrodymais. Ferma buvo tyrinėtojas mėgėjas, matematika nebuvo jo profesija, tad žinomas mokslo populiarintojas Erikas T. Belas, parašęs daugelio žymių matematikų biografijas, jį pakrikštijo „Mėgėjų kunigaikščiu“. Publikacijos ir pripažinimas jam nieko nereiškė, ir jis jautėsi laimingas, galėdamas netrikdomai atsiduoti savo aistrai įrodinėti ir kurti naujas teoremas. Ferma buvo geras šelmis ir, susisiekdamas su kitais matematikais, erzindavo juos savo paslaptingumu. Laiškuose išdėstęs savo naujausias teoremas ir nepateikęs jokių įrodymų, jis tarsi mesdavo iššūkį kitiems. Tai, jog jis niekada neatskleisdavo savo įrodymų, sukeldavo didelį nusivylimą. Rene Dekartas pavadino Ferma pagyrūnu, o anglų matematikas Džonas Valis vadindavo jį „tas prakeiktas prancūzas“. Kartą Ferma nustatė, kad skaičius 26 yra vienintelis, iš kurio atėmus 1, gausime kvadratą, o pridėjus 1 – kubą (iš tikrųjų, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_4e834ef3514d81c748574a8fb52cc31f.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="26 - 1=5^2" /></span><script type='math/tex'>26 - 1=5^2</script>, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_8904b36781eb66ab82cf6407c379bda6.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="26 + 1=3^3" /></span><script type='math/tex'>26 + 1=3^3</script>), ir metė iššūkį matematikų bendrijai, siūlydamas tai įrodyti. Nepaisant uždavinio formuluotės paprastumo, jo sprendimas buvo gana sudėtingas, ir Ferma mėgavosi, šaipydamasis iš anglų matematikų D. Valio ir K. Digbio, kurie galų gale buvo priversti prisipažinti pralaimėję, nes nesugebėjo įveikti šio uždavinio.</span></p> <p>Laimei, vyriausiasis Ferma sūnus, Klementas-Samiuelis, suvokęs visą didžiausios tėvo aistros reikšmę, nusprendė, jog jo atradimai neturėtų pradingti. Penkerius metus Klementas-Samiuelis rinko bei tyrė neaiškius tėvo užrašus bei pastabas „Aritmetikos“ paraštėse, ir atliko nepaprastai sudėtingą ir atsakingą darbą, 1670 metais Tulūzoje išleidęs knygą „Diofanto Aritmetika su p. de Ferma pastabomis“. Kai Ferma „pastabos“ tapo žinomos platesniam mokslininkų ratui, visi suprato, kad laiškai, kuriuos jis siųsdavo savo kolegoms, buvo tik trumpos ištraukos iš pasakiško atradimų lobyno. Tarp užrašytų Ferma ranka pastabų buvo gausu naujų teoremų, užrašytų visiškai be paaiškinimų, arba turėjusių tik nedidelę įrodymų santrauką, kurioje būdavo pateikiama tik keletą loginių žingsnių, leidžiančių suprasti, jog Ferma žinojo įrodymo seka.</p> <div> <dl id="attachment_2907"> <dt> <figure style="width: 810px" class="wp-caption aligncenter"><a href="http://www.konstanta.lt/wp-content/uploads/2017/01/Leonidas_Sakalauskas_1_2.png" rel="attachment wp-att-2907"><img src="http://www.konstanta.lt/wp-content/uploads/2017/01/Leonidas_Sakalauskas_1_2-1024x299.png" alt="Ferma spiralė, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_ad774a2e0cd9107d7243c9b1043bb474.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="r=\pm q^{1/2}" /></span><script type='math/tex'>r=\pm q^{1/2}</script>, r – spiralės taško atstumas nuo centro, q – jo posūkio nuo horizontalios ašies kampas" width="810" height="237" /></a><figcaption class="wp-caption-text">1 pav. Ferma spiralė, r=+- q^1/2, r – spiralės taško atstumas nuo centro, q – jo posūkio nuo horizontalios ašies kampas</figcaption></figure> </dt> <dd></dd> </dl> </div> <p>Čia vertėtų prisiminti, jog Ferma gyveno ir kūrė baigiantis vėlyvojo Renesanso epochai, kai Europoje suklestėjo baroko architektūra, menai ir knygų leidyba. Tą laikmetį geriausiai apibūdina posakis, jog trys gražiausi pasaulyje dalykai yra šokanti moteris, šuoliuojantis žirgas ir išskleistomis burėmis plaukiantis laivas. Kultūros klestėjimą lydėjo spartus pramonės ir prekybos vystymasis, nulėmęs daugelio mokslų atsiradimą ir raidą. <span lang="lt-LT">Nors Pjeras de Ferma domėjosi, iš pirmo žvilgsnio, nereikšmingais galvosūkiais, jo įžvalgų galima atrasti daugelio mokslų, pradėjusių savo plėtotę tuo metu, ištakose, ir nemažai jų pasiekė net mūsų laikus. 1636 m. Ferma atrado spiralę, vėliau pavadintą jo vardu, kurią, pasirodo, galima pritaikyti saulėgrąžos, ramunių ar kitų astrinių (graižažiedžių) augalų žiedynams aprašyti (1 pav.), bet ne tik tuo tikslu. Dabar randama būdų, kaip šią spiralę būtų galima pritaikyti kompiuterių grafikoje arba išdėstyti jos elementus saulės elektrinių veidrodžiuose, ir pan. O vyresniųjų klasių moksleiviams mokyklose dažnai tenka spręsti uždavinius, taikant minimumo arba maksimumo sąlygą, kurią pirmasis nustatė Ferma. Nepriklausomai nuo Dekarto jis pradėjo algebrines išraiškas vaizduoti geometriškai, t.y., sukūrė analitinės geometrijos pradmenis. Jis mokėjo anksčiau už Izaoką Niutoną taikyti diferencijavimo ir integravimo metodus sudėtingų figūrų plotams apskaičiuoti arba išvesti liestinėms. Beje, I. Niutonas minėjo, kad, būtent, pažintis su Ferma darbais jį paskatino sukurti diferencialinį ir integralinį skaičiavimą. Kartu su Paskaliu Ferma gali būti laikomas tikimybių teorijos pradininku. Ferma vardu pavadintas pagrindinis geometrinės optikos dėsnis, pagal kurį šviesa sklinda tokiu keliu nevienalytėje terpėje, kuriam reikia trumpiausio laiko ir t. t.</span></p> <p>Tačiau didžiausių nuopelnų Ferma pasiekė skaičių teorijoje. Ferma atrado, jei a nesidalija iš p ir p yra pirminis, tai (<span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_02c9e9fbfdf9808ca92e2699d0620080.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="a^{p-1} - 1" /></span><script type='math/tex'>a^{p-1} - 1</script>) dalijasi iš p. Pavyzdžiui, tegul a=2, p=7. Skaičius 7 yra, be abejo, pirminis. Taigi, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_3a8915de5d1781d75e0fa02bf36d8320.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="a^{p-1} - 1 = 2^{7-1} - 1 = 63 = 7 \cdot 9" /></span><script type='math/tex'>a^{p-1} - 1 = 2^{7-1} - 1 = 63 = 7 \cdot 9</script>.</p> <p>Šis rezultatas, pavadintas Mažąja Ferma teorema, turi labai daug apibendrinimų bei pritaikymų. Skaitytojams siūlome priimti Mėgėjų kunigaikščio iššūkį ir pabandyti šią teoremą įrodyti patiems. Tie, kam pritrūks kantrybės, gali rasti įrodymą straipsnelio pabaigoje.</p> <p>Ferma taip pat teigė, jog bet kurį pirminį skaičių, kuris dalijasi iš 4 su liekana 1, galima išreikšti dviejų kvadratų suma, ir tik vieninteliu būdu, o besidalijantį iš 4 su liekana 3, taip išreikšti jau nebegalima. Ir iš tikrųjų: <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_396a136ca655294787e9a18546e392ca.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="5=2^2 + 1^2" /></span><script type='math/tex'>5=2^2 + 1^2</script>; <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_1f0d630d7aab8d978be137d733783bf3.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="13=3^2+2^2" /></span><script type='math/tex'>13=3^2+2^2</script>, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_d7a875e71604f4f41584e67e6fb9644c.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="17= 4^2 + 1^2" /></span><script type='math/tex'>17= 4^2 + 1^2</script>, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_3bde5c71067f2d0732e27d1598d0e3f1.gif' style='vertical-align: middle; border: none; padding-bottom:2px;' class='tex' alt="\dots" /></span><script type='math/tex'>\dots</script> , o <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_2d913e60b3dd5fa08be63362560369af.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="23 = 4\cdot5 + 3" /></span><script type='math/tex'>23 = 4\cdot5 + 3</script> šitaip išreikšti jau nebeįmanoma. Vienas žymiausių visų laikų matematikų, šveicaras Leonardas Euleris, daug metų dirbęs Sankt Peterburge, sugaišo 7 metus, kol įrodė šią Ferma hipotezę, kurią pats Ferma įrodinėjo jo atrastu “nusileidimo metodu”. Ferma taip pat sukūrė skaičiaus daliklių sistemingo radimo būdą, atrado, jog bet kurį sveikąjį skaičių galima išreikšti ne daugiau nei keturių kvadratų suma bei daugybė kitų atradimų, kurie aplenkė savo laikmetį, buvo pamiršti ir po ilgo laiko vėl atrasti.</p> <p>1989 m. Tulūzos universitetas įsteigė Ferma premiją (20 000 Eur), kuri kas dveji metai įteikiama už reikšmingus tyrimus mokslo srityse, prie kurių ištakų jis prisidėjo. Viso jau įteikta 14 premijų.</p> <p><strong>Matematikos trilerio pradžia</strong></p> <p>O didžiausios šlovės sulaukė Ferma iššūkis, kurį jis metė visam pasauliui. Tikriausiai, daugelis skaitytojų iš vidurinės mokyklos matematikos pamokų dar prisimena Pitagoro teoremą, tvirtinančią, jog stataus trikampio statinių kvadratų suma yra lygi įstrižainės kvadratui? Sprendiniai, kuriuos galima išreikšti sveikais skaičiais, yra įdomiausi, pvz., jei stačiakampio kambario sienų ilgiai yra atitinkamai 3m ir 4m, tai nesunku įsitikinti, jog atstumas tarp tolimiausių kambario kampų bus 5m, nes <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_cee2f7da80b8bed0fb6a32465ed8978a.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="9 + 16 = 25" /></span><script type='math/tex'>9 + 16 = 25</script>, t.y., <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_b296e6b49ff070377fbf9fedc5929ab4.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="3^2 + 4^2 = 5^2" /></span><script type='math/tex'>3^2 + 4^2 = 5^2</script>. Taigi, perrašinėdamas įvairiais būdais Pitagoro lygtį, Ferma mėgino pastebėti kažką tokio, ko nepastebėjo kiti. Staiga jam kilo geniali mintis, kuri padarė Mėgėjų kunigaikščio vardą nemirtingą.</p> <p>Ferma sugalvojo lygtį, labai panašią į Pitagoro:</p> <p align="CENTER"><span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_ba5af5de44ecd6964b3f80b676045a2a.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="x^n + y^n = z^n" /></span><script type='math/tex'>x^n + y^n = z^n</script>,</p> <p>kuri, jo nuomone, neturi nė vieno sveikaskaičio sprendinio! Diofanto „Aritmetikos“ paraštėse Ferma 1637 m. paliko tokį pastebėjimą: „Neįmanoma kubo užrašyti dviejų kubų suma, arba ketvirtą laipsnį užrašyti ketvirtų laipsnių suma, arba, bendrai bet kuriam skaičiui, kuris yra aukštesnio laipsnio, nei antras, būti užrašytam dviejų to paties laipsnio skaičių suma. Aš radau iš tiesų nuostabų šio teiginio įrodymą, bet paraštės čia per siauros jam sutalpinti.“ Ir tame visas Ferma! Nors jis niekam neatskleidė savo įrodymo, garsas apie Didžiąją Ferma teoremą, kaip ji vėliau buvo pradėta vadinti, pasklido labai plačiai.</p> <p>Per dešimtmečius ir šimtmečius, praėjusius po knygos su Ferma pastabomis išleidimo, viena po kitos buvo patikrintos arba įrodytos visos Ferma pastabos, užrašytos Diofanto „Aritmetikos“ paraštėse, bet pastangos įrodyti Didžiąją Ferma teoremą likdavo bergždžios, nors spręsti šį uždavinį ėmėsi daugelis profesionalių matematikų ir matematikos mėgėjų. Apie šio matematikos trilerio peripetijas pakalbėsime kitąkart, nes viename straipsnelyje jas nėra paprasta išguldyti.</p> <p><strong>Mažosios Ferma teoremos įrodymas</strong></p> <p>Įrodysime prieštaros būdu, kad jei <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_b5569b7982357230d5fa7b02ee8ead86.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="a^{p-1}" /></span><script type='math/tex'>a^{p-1}</script> nesidalija iš p, tai padalijus visus sekos <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_8fb7dd4585e68c3b54875b137b19d6af.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="1\cdot a, 2\cdot a, 3\cdot a, \ldots, (p-1) \cdot a" /></span><script type='math/tex'>1\cdot a, 2\cdot a, 3\cdot a, \ldots, (p-1) \cdot a</script> narius iš p, liekanos irgi bus skirtingos. Iš tikrųjų, sakykime, tegul pavyktų rasti du skirtingus šios sekos narius, besidalijančius iš p su vienodomis liekanomis. Tuomet šių skaičių skirtumas, be abejo, turi dalintis iš p, nes liekanos juk vienodos. Kita vertus, kadangi visi sekos nariai dalijasi iš a, bet kurių skirtingų šios sekos narių skirtumas turi dalintis iš a taip pat. Kadangi skaičius a nesidalija iš p pagal padarytą prielaidą, minėtas skirtumas turi dalintis iš sandaugos a∙p. Kita vertus, skirtingų sekos skaičių skirtumas yra nelygus nuliui, tad jo mažiausia galima reikšmė yra a∙p. Tačiau nagrinėjamoje sekoje visi skaičiai mažesni už a∙p, tad ir jų skirtumas turi būti mažesnis (absoliutiniu didumu) už šį skaičių. Gavome prieštaravimą, nes padalinti skaičių iš didesniojo ir gauti sveiką dalmenį yra neįmanoma. Taigi, įrodėme, jog dalijant aukščiau minėtos sekos narius iš p, bus gautos skirtingos liekanos. Tad liekanos, kurių iš viso yra (p - 1), turi būti skirtingos ir mažesnės už p. Tai įmanoma tik tokiu atveju, kai liekanų aibę sudaro visi skaičiai nuo 1 iki p – 1.<br /> Pažymėkime, kaip įprasta matematikoje, visų skaičių nuo 1 iki p-1 sandaugą per <code class='tex2jax_ignore'>\((p - 1)\)</code>, t.y. <code class='tex2jax_ignore'>\(1\cdot 2\cdot 3∙\ldots\cdot (p - 1) =(p - 1)\)</code>. Dabar sudauginkime visus nagrinėjamos sekos narius ir gautą sandaugą užrašykime tokiu būdu:</p> <p align="CENTER"><span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_306cb02ec42106c5a5c7acd3423052d8.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="1\cdot a\cdot 2\cdot a\cdot 3\cdot a\cdot \ldots \cdot (p - 1) \cdot a=(p - 1)! \cdot a^{p-1}" /></span><script type='math/tex'>1\cdot a\cdot 2\cdot a\cdot 3\cdot a\cdot \ldots \cdot (p - 1) \cdot a=(p - 1)! \cdot a^{p-1}</script>.</p> <p>Kadangi nė vienas šios sandaugos dauginamasis nesidalija iš p, iš p nesidalija ir visa sandauga. Nesunku pastebėti, jog šią sandaugą padalijus iš p, gauta liekana sutaps su visų dauginamųjų liekanų sandaugos liekana. O ką tik įrodėme, jog ši dauginamųjų liekanų sandauga sutaps su visų skirtingų skaičių nuo 1 iki p-1 sandauga, t.y., <code class='tex2jax_ignore'>\((p - 1)\)</code> Taigi, gausime, kad <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_aa98ad1a4cb096dbaeab33933c22cd77.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="(p - 1)! \cdot a^{p-1}" /></span><script type='math/tex'>(p - 1)! \cdot a^{p-1}</script> ir <code class='tex2jax_ignore'>\((p - 1)\)</code> , dalijant iš p, turi tą pačią liekaną. Iš čia seka, kad skirtumas <code class='tex2jax_ignore'>\((p - 1)! \cdot a^{p-1} - (p - 1)\)</code> turi dalintis iš p. Pastarąją išraišką suprastinę iš nesidalijančio iš p skaičiaus <code class='tex2jax_ignore'>\((p - 1)\)</code> (juk p pirminis!), gauname, jog <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_8ce1b658d8b24f2be7d61bb187bec3f0.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="a^{p-1} ? 1" /></span><script type='math/tex'>a^{p-1} ? 1</script> turi dalintis iš p, ką ir reikėjo įrodyti.</p>
 
 
Medeišio fanklubas

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Nors mokslo populiarinimo konkursas jau baigėsi, jam buvo atsiųstas dar vienas darbas. Tiksliau - darbų ciklas. Darbų autorius - VU Matematikos ir informatikos instituto profesorius Leonidas Sakalauskas. Jis rašo apie garsųjį matematiką Pierre Fermat bei jo atradimus. Skaitykite tekstą žemiau.

Matematikos mėgėjų kunigaiščio iššūkis keliems šimtmečiams

Leonidas Sakalauskas, VU Matematikos ir informatikos institutas

Didžiosios Ferma teoremos istorija yra unikali. Joje susipynė mirtis ir apgavystė, dėl jos vieni kovėsi dvikovoje, kiti nusivylę rasti įrodymą, baigdavo savo gyvenimą savižudybe. Už jos įrodymą buvo siūlomos premijos, dėl kurių varžėsi didžiausi protai. Šiame straipsnelyje papasakosime, kaip gimė šis matematikos trileris, užtrukęs kelis šimtmečius.

Pjeras de Ferma (1601-1665) ir Diofanto „Aritmetikos“ leidinys, kurio paraštėse jis rašė pastabas
Pjeras de Ferma (1601-1665) ir Diofanto „Aritmetikos“ leidinys, kurio paraštėse jis rašė pastabas

Mėgėjų kunigaikščio iššūkiai

Pjeras de Ferma pradėjo teisininko karjerą 1631 metais Prancūzijoje, Tulūzos parlamente patarėju. Jis neturėjo didelių politinių ambicijų ir todėl stengėsi veiksmingai atlikti savo pareigas, neatkreipdamas į save didelio dėmesio bei vengdamas netvarkos ar grubumo parlamente. Amžininkai jį apibūdindavo kaip sąžiningą, kruopštų, ramų ir malonų žmogų, turintį puikų matematinį bei humanitarinį išsilavinimą, daugelio senųjų ir gyvųjų kalbų žinovą, rašiusį nuostabias eiles. Visą savo energiją ir laisvą laiką, likdavusį nuo tarnybos, ponas Ferma skirdavo loginiams galvosūkiams spręsti, ir, kai jam nereikėjo posėdžiauti, pasiunčiant dar vieną nusidėjėlį ant laužo ar ešafoto, jis pasinerdavo į savo mėgstamą užsiėmimą. Nors Ferma nerašė jokių knygų, o tik laiškus draugams ar į galvą atėjusias geras mintis, palaipsniui jis tapo vienu iš labiausiai pripažintų Prancūzijos matematikų. Pagrindinis jo įkvėpimo šaltinis buvo 1621 metais išleistas lotyniškas Diofanto vadovėlio „Aritmetika“ vertimas. Spręsdamas Diofanto lygtis, o paskui pats pradėjęs kurti uždavinius bei teoremas, Ferma užsirašydavo tik pačius būtiniausius dalykus, reikalingus įsitikinti sprendimo teisingumu, ir nesivargindavo kur nors užrašyti likusį įrodymą. Dažniausiai paskubom padaryti užrašai keliaudavo tiesiai į šiukšlių dėžę, o Ferma ramiausiai pereidavo prie kito uždavinio. Laimei, jo turimas „Aritmetikos“ vertimas turėjo plačias paraštes, ir Ferma dažnai užrašydavo savo mintis ir komentarus jose. Pastabos paraštėse ir laiškai, parašyti kitiems to meto mokslininkams, tapo neįkainojamais, nors ir labai skurdžiais, ryškiausių Ferma skaičiavimų ir atradimų įrodymais. Ferma buvo tyrinėtojas mėgėjas, matematika nebuvo jo profesija, tad žinomas mokslo populiarintojas Erikas T. Belas, parašęs daugelio žymių matematikų biografijas, jį pakrikštijo „Mėgėjų kunigaikščiu“. Publikacijos ir pripažinimas jam nieko nereiškė, ir jis jautėsi laimingas, galėdamas netrikdomai atsiduoti savo aistrai įrodinėti ir kurti naujas teoremas. Ferma buvo geras šelmis ir, susisiekdamas su kitais matematikais, erzindavo juos savo paslaptingumu. Laiškuose išdėstęs savo naujausias teoremas ir nepateikęs jokių įrodymų, jis tarsi mesdavo iššūkį kitiems. Tai, jog jis niekada neatskleisdavo savo įrodymų, sukeldavo didelį nusivylimą. Rene Dekartas pavadino Ferma pagyrūnu, o anglų matematikas Džonas Valis vadindavo jį „tas prakeiktas prancūzas“. Kartą Ferma nustatė, kad skaičius 26 yra vienintelis, iš kurio atėmus 1, gausime kvadratą, o pridėjus 1 – kubą (iš tikrųjų, 26 - 1=5^2, 26 + 1=3^3), ir metė iššūkį matematikų bendrijai, siūlydamas tai įrodyti. Nepaisant uždavinio formuluotės paprastumo, jo sprendimas buvo gana sudėtingas, ir Ferma mėgavosi, šaipydamasis iš anglų matematikų D. Valio ir K. Digbio, kurie galų gale buvo priversti prisipažinti pralaimėję, nes nesugebėjo įveikti šio uždavinio.

Laimei, vyriausiasis Ferma sūnus, Klementas-Samiuelis, suvokęs visą didžiausios tėvo aistros reikšmę, nusprendė, jog jo atradimai neturėtų pradingti. Penkerius metus Klementas-Samiuelis rinko bei tyrė neaiškius tėvo užrašus bei pastabas „Aritmetikos“ paraštėse, ir atliko nepaprastai sudėtingą ir atsakingą darbą, 1670 metais Tulūzoje išleidęs knygą „Diofanto Aritmetika su p. de Ferma pastabomis“. Kai Ferma „pastabos“ tapo žinomos platesniam mokslininkų ratui, visi suprato, kad laiškai, kuriuos jis siųsdavo savo kolegoms, buvo tik trumpos ištraukos iš pasakiško atradimų lobyno. Tarp užrašytų Ferma ranka pastabų buvo gausu naujų teoremų, užrašytų visiškai be paaiškinimų, arba turėjusių tik nedidelę įrodymų santrauką, kurioje būdavo pateikiama tik keletą loginių žingsnių, leidžiančių suprasti, jog Ferma žinojo įrodymo seka.

[Error: Irreparable invalid markup ('<img [...] q^{1/2}">') in entry. Owner must fix manually. Raw contents below.]

<p><small>Originally published at <a href="http://www.konstanta.lt/2017/01/matematikos-megeju-kunigaiscio-issukis-keliems-simtmeciams/">Konstanta-42</a>. Please leave any <a href="http://www.konstanta.lt/2017/01/matematikos-megeju-kunigaiscio-issukis-keliems-simtmeciams/#comments">comments</a> there.</small></p><p>Nors mokslo populiarinimo konkursas jau baigėsi, jam buvo atsiųstas dar vienas darbas. Tiksliau - darbų ciklas. Darbų autorius - VU Matematikos ir informatikos instituto profesorius Leonidas Sakalauskas. Jis rašo apie garsųjį matematiką Pierre Fermat bei jo atradimus. Skaitykite tekstą žemiau.</p> <p align="CENTER"><strong>Matematikos mėgėjų kunigaiščio iššūkis keliems šimtmečiams</strong></p> <p style="text-align: right;" align="CENTER">Leonidas Sakalauskas, VU Matematikos ir informatikos institutas</p> <p>Didžiosios Ferma teoremos istorija yra unikali. Joje susipynė mirtis ir apgavystė, dėl jos vieni kovėsi dvikovoje, kiti nusivylę rasti įrodymą, baigdavo savo gyvenimą savižudybe. Už jos įrodymą buvo siūlomos premijos, dėl kurių varžėsi didžiausi protai. Šiame straipsnelyje papasakosime, kaip gimė šis matematikos trileris, užtrukęs kelis šimtmečius.</p> <div> <dl id="attachment_2906"> <dt> <figure style="width: 643px" class="wp-caption aligncenter"><a href="http://www.konstanta.lt/wp-content/uploads/2017/01/Leonidas_Sakalauskas_1_1.png" rel="attachment wp-att-2906"><img src="http://www.konstanta.lt/wp-content/uploads/2017/01/Leonidas_Sakalauskas_1_1.png" alt="Pjeras de Ferma (1601-1665) ir Diofanto „Aritmetikos“ leidinys, kurio paraštėse jis rašė pastabas" width="643" height="431" /></a><figcaption class="wp-caption-text">Pjeras de Ferma (1601-1665) ir Diofanto „Aritmetikos“ leidinys, kurio paraštėse jis rašė pastabas</figcaption></figure> </dt> <dd></dd> </dl> </div> <p><strong>Mėgėjų kunigaikščio iššūkiai </strong></p> <p>Pjeras de Ferma pradėjo teisininko karjerą 1631 metais Prancūzijoje, Tulūzos parlamente patarėju. J<span lang="lt-LT">is neturėjo didelių politinių ambicijų ir todėl stengėsi veiksmingai atlikti savo pareigas, neatkreipdamas į save didelio dėmesio bei vengdamas netvarkos ar grubumo parlamente. </span><span lang="lt-LT">Amžininkai jį apibūdindavo kaip sąžiningą, kruopštų, ramų ir malonų žmogų, turintį puikų matematinį bei humanitarinį išsilavinimą, daugelio senųjų ir gyvųjų kalbų žinovą, rašiusį nuostabias eiles. </span><span lang="lt-LT">Visą savo energiją ir laisvą laiką, likdavusį nuo tarnybos, ponas Ferma skirdavo loginiams galvosūkiams spręsti, ir, kai jam nereikėjo posėdžiauti, pasiunčiant dar vieną nusidėjėlį ant laužo ar ešafoto, jis pasinerdavo į savo mėgstamą užsiėmimą. Nors Ferma nerašė jokių knygų, o tik laiškus draugams ar į galvą atėjusias geras mintis, palaipsniui jis tapo vienu iš labiausiai pripažintų Prancūzijos matematikų. Pagrindinis jo įkvėpimo šaltinis buvo 1621 metais išleistas lotyniškas Diofanto vadovėlio „Aritmetika“ vertimas. Spręsdamas Diofanto lygtis, o paskui pats pradėjęs kurti uždavinius bei teoremas, Ferma užsirašydavo tik pačius būtiniausius dalykus, reikalingus įsitikinti sprendimo teisingumu, ir nesivargindavo kur nors užrašyti likusį įrodymą. Dažniausiai paskubom padaryti užrašai keliaudavo tiesiai į šiukšlių dėžę, o Ferma ramiausiai pereidavo prie kito uždavinio. Laimei, jo turimas „Aritmetikos“ vertimas turėjo plačias paraštes, ir Ferma dažnai užrašydavo savo mintis ir komentarus jose. Pastabos paraštėse ir laiškai, parašyti kitiems to meto mokslininkams, tapo neįkainojamais, nors ir labai skurdžiais, ryškiausių Ferma skaičiavimų ir atradimų įrodymais. Ferma buvo tyrinėtojas mėgėjas, matematika nebuvo jo profesija, tad žinomas mokslo populiarintojas Erikas T. Belas, parašęs daugelio žymių matematikų biografijas, jį pakrikštijo „Mėgėjų kunigaikščiu“. Publikacijos ir pripažinimas jam nieko nereiškė, ir jis jautėsi laimingas, galėdamas netrikdomai atsiduoti savo aistrai įrodinėti ir kurti naujas teoremas. Ferma buvo geras šelmis ir, susisiekdamas su kitais matematikais, erzindavo juos savo paslaptingumu. Laiškuose išdėstęs savo naujausias teoremas ir nepateikęs jokių įrodymų, jis tarsi mesdavo iššūkį kitiems. Tai, jog jis niekada neatskleisdavo savo įrodymų, sukeldavo didelį nusivylimą. Rene Dekartas pavadino Ferma pagyrūnu, o anglų matematikas Džonas Valis vadindavo jį „tas prakeiktas prancūzas“. Kartą Ferma nustatė, kad skaičius 26 yra vienintelis, iš kurio atėmus 1, gausime kvadratą, o pridėjus 1 – kubą (iš tikrųjų, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_4e834ef3514d81c748574a8fb52cc31f.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="26 - 1=5^2" /></span><script type='math/tex'>26 - 1=5^2</script>, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_8904b36781eb66ab82cf6407c379bda6.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="26 + 1=3^3" /></span><script type='math/tex'>26 + 1=3^3</script>), ir metė iššūkį matematikų bendrijai, siūlydamas tai įrodyti. Nepaisant uždavinio formuluotės paprastumo, jo sprendimas buvo gana sudėtingas, ir Ferma mėgavosi, šaipydamasis iš anglų matematikų D. Valio ir K. Digbio, kurie galų gale buvo priversti prisipažinti pralaimėję, nes nesugebėjo įveikti šio uždavinio.</span></p> <p>Laimei, vyriausiasis Ferma sūnus, Klementas-Samiuelis, suvokęs visą didžiausios tėvo aistros reikšmę, nusprendė, jog jo atradimai neturėtų pradingti. Penkerius metus Klementas-Samiuelis rinko bei tyrė neaiškius tėvo užrašus bei pastabas „Aritmetikos“ paraštėse, ir atliko nepaprastai sudėtingą ir atsakingą darbą, 1670 metais Tulūzoje išleidęs knygą „Diofanto Aritmetika su p. de Ferma pastabomis“. Kai Ferma „pastabos“ tapo žinomos platesniam mokslininkų ratui, visi suprato, kad laiškai, kuriuos jis siųsdavo savo kolegoms, buvo tik trumpos ištraukos iš pasakiško atradimų lobyno. Tarp užrašytų Ferma ranka pastabų buvo gausu naujų teoremų, užrašytų visiškai be paaiškinimų, arba turėjusių tik nedidelę įrodymų santrauką, kurioje būdavo pateikiama tik keletą loginių žingsnių, leidžiančių suprasti, jog Ferma žinojo įrodymo seka.</p> <div> <dl id="attachment_2907"> <dt> <figure style="width: 810px" class="wp-caption aligncenter"><a href="http://www.konstanta.lt/wp-content/uploads/2017/01/Leonidas_Sakalauskas_1_2.png" rel="attachment wp-att-2907"><img src="http://www.konstanta.lt/wp-content/uploads/2017/01/Leonidas_Sakalauskas_1_2-1024x299.png" alt="Ferma spiralė, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_ad774a2e0cd9107d7243c9b1043bb474.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="r=\pm q^{1/2}" /></span><script type='math/tex'>r=\pm q^{1/2}</script>, r – spiralės taško atstumas nuo centro, q – jo posūkio nuo horizontalios ašies kampas" width="810" height="237" /></a><figcaption class="wp-caption-text">1 pav. Ferma spiralė, r=+- q^1/2, r – spiralės taško atstumas nuo centro, q – jo posūkio nuo horizontalios ašies kampas</figcaption></figure> </dt> <dd></dd> </dl> </div> <p>Čia vertėtų prisiminti, jog Ferma gyveno ir kūrė baigiantis vėlyvojo Renesanso epochai, kai Europoje suklestėjo baroko architektūra, menai ir knygų leidyba. Tą laikmetį geriausiai apibūdina posakis, jog trys gražiausi pasaulyje dalykai yra šokanti moteris, šuoliuojantis žirgas ir išskleistomis burėmis plaukiantis laivas. Kultūros klestėjimą lydėjo spartus pramonės ir prekybos vystymasis, nulėmęs daugelio mokslų atsiradimą ir raidą. <span lang="lt-LT">Nors Pjeras de Ferma domėjosi, iš pirmo žvilgsnio, nereikšmingais galvosūkiais, jo įžvalgų galima atrasti daugelio mokslų, pradėjusių savo plėtotę tuo metu, ištakose, ir nemažai jų pasiekė net mūsų laikus. 1636 m. Ferma atrado spiralę, vėliau pavadintą jo vardu, kurią, pasirodo, galima pritaikyti saulėgrąžos, ramunių ar kitų astrinių (graižažiedžių) augalų žiedynams aprašyti (1 pav.), bet ne tik tuo tikslu. Dabar randama būdų, kaip šią spiralę būtų galima pritaikyti kompiuterių grafikoje arba išdėstyti jos elementus saulės elektrinių veidrodžiuose, ir pan. O vyresniųjų klasių moksleiviams mokyklose dažnai tenka spręsti uždavinius, taikant minimumo arba maksimumo sąlygą, kurią pirmasis nustatė Ferma. Nepriklausomai nuo Dekarto jis pradėjo algebrines išraiškas vaizduoti geometriškai, t.y., sukūrė analitinės geometrijos pradmenis. Jis mokėjo anksčiau už Izaoką Niutoną taikyti diferencijavimo ir integravimo metodus sudėtingų figūrų plotams apskaičiuoti arba išvesti liestinėms. Beje, I. Niutonas minėjo, kad, būtent, pažintis su Ferma darbais jį paskatino sukurti diferencialinį ir integralinį skaičiavimą. Kartu su Paskaliu Ferma gali būti laikomas tikimybių teorijos pradininku. Ferma vardu pavadintas pagrindinis geometrinės optikos dėsnis, pagal kurį šviesa sklinda tokiu keliu nevienalytėje terpėje, kuriam reikia trumpiausio laiko ir t. t.</span></p> <p>Tačiau didžiausių nuopelnų Ferma pasiekė skaičių teorijoje. Ferma atrado, jei a nesidalija iš p ir p yra pirminis, tai (<span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_02c9e9fbfdf9808ca92e2699d0620080.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="a^{p-1} - 1" /></span><script type='math/tex'>a^{p-1} - 1</script>) dalijasi iš p. Pavyzdžiui, tegul a=2, p=7. Skaičius 7 yra, be abejo, pirminis. Taigi, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_3a8915de5d1781d75e0fa02bf36d8320.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="a^{p-1} - 1 = 2^{7-1} - 1 = 63 = 7 \cdot 9" /></span><script type='math/tex'>a^{p-1} - 1 = 2^{7-1} - 1 = 63 = 7 \cdot 9</script>.</p> <p>Šis rezultatas, pavadintas Mažąja Ferma teorema, turi labai daug apibendrinimų bei pritaikymų. Skaitytojams siūlome priimti Mėgėjų kunigaikščio iššūkį ir pabandyti šią teoremą įrodyti patiems. Tie, kam pritrūks kantrybės, gali rasti įrodymą straipsnelio pabaigoje.</p> <p>Ferma taip pat teigė, jog bet kurį pirminį skaičių, kuris dalijasi iš 4 su liekana 1, galima išreikšti dviejų kvadratų suma, ir tik vieninteliu būdu, o besidalijantį iš 4 su liekana 3, taip išreikšti jau nebegalima. Ir iš tikrųjų: <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_396a136ca655294787e9a18546e392ca.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="5=2^2 + 1^2" /></span><script type='math/tex'>5=2^2 + 1^2</script>; <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_1f0d630d7aab8d978be137d733783bf3.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="13=3^2+2^2" /></span><script type='math/tex'>13=3^2+2^2</script>, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_d7a875e71604f4f41584e67e6fb9644c.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="17= 4^2 + 1^2" /></span><script type='math/tex'>17= 4^2 + 1^2</script>, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_3bde5c71067f2d0732e27d1598d0e3f1.gif' style='vertical-align: middle; border: none; padding-bottom:2px;' class='tex' alt="\dots" /></span><script type='math/tex'>\dots</script> , o <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_2d913e60b3dd5fa08be63362560369af.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="23 = 4\cdot5 + 3" /></span><script type='math/tex'>23 = 4\cdot5 + 3</script> šitaip išreikšti jau nebeįmanoma. Vienas žymiausių visų laikų matematikų, šveicaras Leonardas Euleris, daug metų dirbęs Sankt Peterburge, sugaišo 7 metus, kol įrodė šią Ferma hipotezę, kurią pats Ferma įrodinėjo jo atrastu “nusileidimo metodu”. Ferma taip pat sukūrė skaičiaus daliklių sistemingo radimo būdą, atrado, jog bet kurį sveikąjį skaičių galima išreikšti ne daugiau nei keturių kvadratų suma bei daugybė kitų atradimų, kurie aplenkė savo laikmetį, buvo pamiršti ir po ilgo laiko vėl atrasti.</p> <p>1989 m. Tulūzos universitetas įsteigė Ferma premiją (20 000 Eur), kuri kas dveji metai įteikiama už reikšmingus tyrimus mokslo srityse, prie kurių ištakų jis prisidėjo. Viso jau įteikta 14 premijų.</p> <p><strong>Matematikos trilerio pradžia</strong></p> <p>O didžiausios šlovės sulaukė Ferma iššūkis, kurį jis metė visam pasauliui. Tikriausiai, daugelis skaitytojų iš vidurinės mokyklos matematikos pamokų dar prisimena Pitagoro teoremą, tvirtinančią, jog stataus trikampio statinių kvadratų suma yra lygi įstrižainės kvadratui? Sprendiniai, kuriuos galima išreikšti sveikais skaičiais, yra įdomiausi, pvz., jei stačiakampio kambario sienų ilgiai yra atitinkamai 3m ir 4m, tai nesunku įsitikinti, jog atstumas tarp tolimiausių kambario kampų bus 5m, nes <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_cee2f7da80b8bed0fb6a32465ed8978a.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="9 + 16 = 25" /></span><script type='math/tex'>9 + 16 = 25</script>, t.y., <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_b296e6b49ff070377fbf9fedc5929ab4.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="3^2 + 4^2 = 5^2" /></span><script type='math/tex'>3^2 + 4^2 = 5^2</script>. Taigi, perrašinėdamas įvairiais būdais Pitagoro lygtį, Ferma mėgino pastebėti kažką tokio, ko nepastebėjo kiti. Staiga jam kilo geniali mintis, kuri padarė Mėgėjų kunigaikščio vardą nemirtingą.</p> <p>Ferma sugalvojo lygtį, labai panašią į Pitagoro:</p> <p align="CENTER"><span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_ba5af5de44ecd6964b3f80b676045a2a.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="x^n + y^n = z^n" /></span><script type='math/tex'>x^n + y^n = z^n</script>,</p> <p>kuri, jo nuomone, neturi nė vieno sveikaskaičio sprendinio! Diofanto „Aritmetikos“ paraštėse Ferma 1637 m. paliko tokį pastebėjimą: „Neįmanoma kubo užrašyti dviejų kubų suma, arba ketvirtą laipsnį užrašyti ketvirtų laipsnių suma, arba, bendrai bet kuriam skaičiui, kuris yra aukštesnio laipsnio, nei antras, būti užrašytam dviejų to paties laipsnio skaičių suma. Aš radau iš tiesų nuostabų šio teiginio įrodymą, bet paraštės čia per siauros jam sutalpinti.“ Ir tame visas Ferma! Nors jis niekam neatskleidė savo įrodymo, garsas apie Didžiąją Ferma teoremą, kaip ji vėliau buvo pradėta vadinti, pasklido labai plačiai.</p> <p>Per dešimtmečius ir šimtmečius, praėjusius po knygos su Ferma pastabomis išleidimo, viena po kitos buvo patikrintos arba įrodytos visos Ferma pastabos, užrašytos Diofanto „Aritmetikos“ paraštėse, bet pastangos įrodyti Didžiąją Ferma teoremą likdavo bergždžios, nors spręsti šį uždavinį ėmėsi daugelis profesionalių matematikų ir matematikos mėgėjų. Apie šio matematikos trilerio peripetijas pakalbėsime kitąkart, nes viename straipsnelyje jas nėra paprasta išguldyti.</p> <p><strong>Mažosios Ferma teoremos įrodymas</strong></p> <p>Įrodysime prieštaros būdu, kad jei <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_b5569b7982357230d5fa7b02ee8ead86.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="a^{p-1}" /></span><script type='math/tex'>a^{p-1}</script> nesidalija iš p, tai padalijus visus sekos <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_2d89a09bb030be8f676522d6d5b28e63.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="1\cdot a, 2\cdot a, 3\cdot a, \dots, (p-1) \cdot a" /></span><script type='math/tex'>1\cdot a, 2\cdot a, 3\cdot a, \dots, (p-1) \cdot a</script> narius iš p, liekanos irgi bus skirtingos. Iš tikrųjų, sakykime, tegul pavyktų rasti du skirtingus šios sekos narius, besidalijančius iš p su vienodomis liekanomis. Tuomet šių skaičių skirtumas, be abejo, turi dalintis iš p, nes liekanos juk vienodos. Kita vertus, kadangi visi sekos nariai dalijasi iš a, bet kurių skirtingų šios sekos narių skirtumas turi dalintis iš a taip pat. Kadangi skaičius a nesidalija iš p pagal padarytą prielaidą, minėtas skirtumas turi dalintis iš sandaugos a∙p. Kita vertus, skirtingų sekos skaičių skirtumas yra nelygus nuliui, tad jo mažiausia galima reikšmė yra a∙p. Tačiau nagrinėjamoje sekoje visi skaičiai mažesni už a∙p, tad ir jų skirtumas turi būti mažesnis (absoliutiniu didumu) už šį skaičių. Gavome prieštaravimą, nes padalinti skaičių iš didesniojo ir gauti sveiką dalmenį yra neįmanoma. Taigi, įrodėme, jog dalijant aukščiau minėtos sekos narius iš p, bus gautos skirtingos liekanos. Tad liekanos, kurių iš viso yra (p - 1), turi būti skirtingos ir mažesnės už p. Tai įmanoma tik tokiu atveju, kai liekanų aibę sudaro visi skaičiai nuo 1 iki p – 1.<br /> Pažymėkime, kaip įprasta matematikoje, visų skaičių nuo 1 iki p-1 sandaugą per <code class='tex2jax_ignore'>\((p - 1)\)</code>, t.y. <code class='tex2jax_ignore'>\(1\cdot 2\cdot 3∙\dots\cdot (p - 1) =(p - 1)\)</code>. Dabar sudauginkime visus nagrinėjamos sekos narius ir gautą sandaugą užrašykime tokiu būdu:</p> <p align="CENTER"><span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_efac266158b010542b141294e18afdc7.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="1\cdot a\cdot 2\cdot a\cdot 3\cdot a\cdot \dots \cdot (p - 1) \cdot a=(p - 1)! \cdot a^{p-1}" /></span><script type='math/tex'>1\cdot a\cdot 2\cdot a\cdot 3\cdot a\cdot \dots \cdot (p - 1) \cdot a=(p - 1)! \cdot a^{p-1}</script>.</p> <p>Kadangi nė vienas šios sandaugos dauginamasis nesidalija iš p, iš p nesidalija ir visa sandauga. Nesunku pastebėti, jog šią sandaugą padalijus iš p, gauta liekana sutaps su visų dauginamųjų liekanų sandaugos liekana. O ką tik įrodėme, jog ši dauginamųjų liekanų sandauga sutaps su visų skirtingų skaičių nuo 1 iki p-1 sandauga, t.y., <code class='tex2jax_ignore'>\((p - 1)\)</code> Taigi, gausime, kad <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_aa98ad1a4cb096dbaeab33933c22cd77.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="(p - 1)! \cdot a^{p-1}" /></span><script type='math/tex'>(p - 1)! \cdot a^{p-1}</script> ir <code class='tex2jax_ignore'>\((p - 1)\)</code> , dalijant iš p, turi tą pačią liekaną. Iš čia seka, kad skirtumas <code class='tex2jax_ignore'>\((p - 1)! \cdot a^{p-1} - (p - 1)\)</code> turi dalintis iš p. Pastarąją išraišką suprastinę iš nesidalijančio iš p skaičiaus <code class='tex2jax_ignore'>\((p - 1)\)</code> (juk p pirminis!), gauname, jog <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_8ce1b658d8b24f2be7d61bb187bec3f0.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="a^{p-1} ? 1" /></span><script type='math/tex'>a^{p-1} ? 1</script> turi dalintis iš p, ką ir reikėjo įrodyti.</p>
 
 
Medeišio fanklubas

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Nors mokslo populiarinimo konkursas jau baigėsi, jam buvo atsiųstas dar vienas darbas. Tiksliau - darbų ciklas. Darbų autorius - VU Matematikos ir informatikos instituto profesorius Leonidas Sakalauskas. Jis rašo apie garsųjį matematiką Pierre Fermat bei jo atradimus. Skaitykite tekstą žemiau.

Matematikos mėgėjų kunigaiščio iššūkis keliems šimtmečiams

Leonidas Sakalauskas, VU Matematikos ir informatikos institutas

Didžiosios Ferma teoremos istorija yra unikali. Joje susipynė mirtis ir apgavystė, dėl jos vieni kovėsi dvikovoje, kiti nusivylę rasti įrodymą, baigdavo savo gyvenimą savižudybe. Už jos įrodymą buvo siūlomos premijos, dėl kurių varžėsi didžiausi protai. Šiame straipsnelyje papasakosime, kaip gimė šis matematikos trileris, užtrukęs kelis šimtmečius.

Pjeras de Ferma (1601-1665) ir Diofanto „Aritmetikos“ leidinys, kurio paraštėse jis rašė pastabas
Pjeras de Ferma (1601-1665) ir Diofanto „Aritmetikos“ leidinys, kurio paraštėse jis rašė pastabas

Mėgėjų kunigaikščio iššūkiai

Pjeras de Ferma pradėjo teisininko karjerą 1631 metais Prancūzijoje, Tulūzos parlamente patarėju. Jis neturėjo didelių politinių ambicijų ir todėl stengėsi veiksmingai atlikti savo pareigas, neatkreipdamas į save didelio dėmesio bei vengdamas netvarkos ar grubumo parlamente. Amžininkai jį apibūdindavo kaip sąžiningą, kruopštų, ramų ir malonų žmogų, turintį puikų matematinį bei humanitarinį išsilavinimą, daugelio senųjų ir gyvųjų kalbų žinovą, rašiusį nuostabias eiles. Visą savo energiją ir laisvą laiką, likdavusį nuo tarnybos, ponas Ferma skirdavo loginiams galvosūkiams spręsti, ir, kai jam nereikėjo posėdžiauti, pasiunčiant dar vieną nusidėjėlį ant laužo ar ešafoto, jis pasinerdavo į savo mėgstamą užsiėmimą. Nors Ferma nerašė jokių knygų, o tik laiškus draugams ar į galvą atėjusias geras mintis, palaipsniui jis tapo vienu iš labiausiai pripažintų Prancūzijos matematikų. Pagrindinis jo įkvėpimo šaltinis buvo 1621 metais išleistas lotyniškas Diofanto vadovėlio „Aritmetika“ vertimas. Spręsdamas Diofanto lygtis, o paskui pats pradėjęs kurti uždavinius bei teoremas, Ferma užsirašydavo tik pačius būtiniausius dalykus, reikalingus įsitikinti sprendimo teisingumu, ir nesivargindavo kur nors užrašyti likusį įrodymą. Dažniausiai paskubom padaryti užrašai keliaudavo tiesiai į šiukšlių dėžę, o Ferma ramiausiai pereidavo prie kito uždavinio. Laimei, jo turimas „Aritmetikos“ vertimas turėjo plačias paraštes, ir Ferma dažnai užrašydavo savo mintis ir komentarus jose. Pastabos paraštėse ir laiškai, parašyti kitiems to meto mokslininkams, tapo neįkainojamais, nors ir labai skurdžiais, ryškiausių Ferma skaičiavimų ir atradimų įrodymais. Ferma buvo tyrinėtojas mėgėjas, matematika nebuvo jo profesija, tad žinomas mokslo populiarintojas Erikas T. Belas, parašęs daugelio žymių matematikų biografijas, jį pakrikštijo „Mėgėjų kunigaikščiu“. Publikacijos ir pripažinimas jam nieko nereiškė, ir jis jautėsi laimingas, galėdamas netrikdomai atsiduoti savo aistrai įrodinėti ir kurti naujas teoremas. Ferma buvo geras šelmis ir, susisiekdamas su kitais matematikais, erzindavo juos savo paslaptingumu. Laiškuose išdėstęs savo naujausias teoremas ir nepateikęs jokių įrodymų, jis tarsi mesdavo iššūkį kitiems. Tai, jog jis niekada neatskleisdavo savo įrodymų, sukeldavo didelį nusivylimą. Rene Dekartas pavadino Ferma pagyrūnu, o anglų matematikas Džonas Valis vadindavo jį „tas prakeiktas prancūzas“. Kartą Ferma nustatė, kad skaičius 26 yra vienintelis, iš kurio atėmus 1, gausime kvadratą, o pridėjus 1 – kubą (iš tikrųjų, 26 - 1=5^2, 26 + 1=3^3), ir metė iššūkį matematikų bendrijai, siūlydamas tai įrodyti. Nepaisant uždavinio formuluotės paprastumo, jo sprendimas buvo gana sudėtingas, ir Ferma mėgavosi, šaipydamasis iš anglų matematikų D. Valio ir K. Digbio, kurie galų gale buvo priversti prisipažinti pralaimėję, nes nesugebėjo įveikti šio uždavinio.

Laimei, vyriausiasis Ferma sūnus, Klementas-Samiuelis, suvokęs visą didžiausios tėvo aistros reikšmę, nusprendė, jog jo atradimai neturėtų pradingti. Penkerius metus Klementas-Samiuelis rinko bei tyrė neaiškius tėvo užrašus bei pastabas „Aritmetikos“ paraštėse, ir atliko nepaprastai sudėtingą ir atsakingą darbą, 1670 metais Tulūzoje išleidęs knygą „Diofanto Aritmetika su p. de Ferma pastabomis“. Kai Ferma „pastabos“ tapo žinomos platesniam mokslininkų ratui, visi suprato, kad laiškai, kuriuos jis siųsdavo savo kolegoms, buvo tik trumpos ištraukos iš pasakiško atradimų lobyno. Tarp užrašytų Ferma ranka pastabų buvo gausu naujų teoremų, užrašytų visiškai be paaiškinimų, arba turėjusių tik nedidelę įrodymų santrauką, kurioje būdavo pateikiama tik keletą loginių žingsnių, leidžiančių suprasti, jog Ferma žinojo įrodymo seka.

[Error: Irreparable invalid markup ('<img [...] q^{1/2}">') in entry. Owner must fix manually. Raw contents below.]

<p><small>Originally published at <a href="http://www.konstanta.lt/2017/01/matematikos-megeju-kunigaiscio-issukis-keliems-simtmeciams/">Konstanta-42</a>. Please leave any <a href="http://www.konstanta.lt/2017/01/matematikos-megeju-kunigaiscio-issukis-keliems-simtmeciams/#comments">comments</a> there.</small></p><p>Nors mokslo populiarinimo konkursas jau baigėsi, jam buvo atsiųstas dar vienas darbas. Tiksliau - darbų ciklas. Darbų autorius - VU Matematikos ir informatikos instituto profesorius Leonidas Sakalauskas. Jis rašo apie garsųjį matematiką Pierre Fermat bei jo atradimus. Skaitykite tekstą žemiau.</p> <p align="CENTER"><strong>Matematikos mėgėjų kunigaiščio iššūkis keliems šimtmečiams</strong></p> <p style="text-align: right;" align="CENTER">Leonidas Sakalauskas, VU Matematikos ir informatikos institutas</p> <p>Didžiosios Ferma teoremos istorija yra unikali. Joje susipynė mirtis ir apgavystė, dėl jos vieni kovėsi dvikovoje, kiti nusivylę rasti įrodymą, baigdavo savo gyvenimą savižudybe. Už jos įrodymą buvo siūlomos premijos, dėl kurių varžėsi didžiausi protai. Šiame straipsnelyje papasakosime, kaip gimė šis matematikos trileris, užtrukęs kelis šimtmečius.</p> <div> <dl id="attachment_2906"> <dt> <figure style="width: 643px" class="wp-caption aligncenter"><a href="http://www.konstanta.lt/wp-content/uploads/2017/01/Leonidas_Sakalauskas_1_1.png" rel="attachment wp-att-2906"><img src="http://www.konstanta.lt/wp-content/uploads/2017/01/Leonidas_Sakalauskas_1_1.png" alt="Pjeras de Ferma (1601-1665) ir Diofanto „Aritmetikos“ leidinys, kurio paraštėse jis rašė pastabas" width="643" height="431" /></a><figcaption class="wp-caption-text">Pjeras de Ferma (1601-1665) ir Diofanto „Aritmetikos“ leidinys, kurio paraštėse jis rašė pastabas</figcaption></figure> </dt> <dd></dd> </dl> </div> <p><strong>Mėgėjų kunigaikščio iššūkiai </strong></p> <p>Pjeras de Ferma pradėjo teisininko karjerą 1631 metais Prancūzijoje, Tulūzos parlamente patarėju. J<span lang="lt-LT">is neturėjo didelių politinių ambicijų ir todėl stengėsi veiksmingai atlikti savo pareigas, neatkreipdamas į save didelio dėmesio bei vengdamas netvarkos ar grubumo parlamente. </span><span lang="lt-LT">Amžininkai jį apibūdindavo kaip sąžiningą, kruopštų, ramų ir malonų žmogų, turintį puikų matematinį bei humanitarinį išsilavinimą, daugelio senųjų ir gyvųjų kalbų žinovą, rašiusį nuostabias eiles. </span><span lang="lt-LT">Visą savo energiją ir laisvą laiką, likdavusį nuo tarnybos, ponas Ferma skirdavo loginiams galvosūkiams spręsti, ir, kai jam nereikėjo posėdžiauti, pasiunčiant dar vieną nusidėjėlį ant laužo ar ešafoto, jis pasinerdavo į savo mėgstamą užsiėmimą. Nors Ferma nerašė jokių knygų, o tik laiškus draugams ar į galvą atėjusias geras mintis, palaipsniui jis tapo vienu iš labiausiai pripažintų Prancūzijos matematikų. Pagrindinis jo įkvėpimo šaltinis buvo 1621 metais išleistas lotyniškas Diofanto vadovėlio „Aritmetika“ vertimas. Spręsdamas Diofanto lygtis, o paskui pats pradėjęs kurti uždavinius bei teoremas, Ferma užsirašydavo tik pačius būtiniausius dalykus, reikalingus įsitikinti sprendimo teisingumu, ir nesivargindavo kur nors užrašyti likusį įrodymą. Dažniausiai paskubom padaryti užrašai keliaudavo tiesiai į šiukšlių dėžę, o Ferma ramiausiai pereidavo prie kito uždavinio. Laimei, jo turimas „Aritmetikos“ vertimas turėjo plačias paraštes, ir Ferma dažnai užrašydavo savo mintis ir komentarus jose. Pastabos paraštėse ir laiškai, parašyti kitiems to meto mokslininkams, tapo neįkainojamais, nors ir labai skurdžiais, ryškiausių Ferma skaičiavimų ir atradimų įrodymais. Ferma buvo tyrinėtojas mėgėjas, matematika nebuvo jo profesija, tad žinomas mokslo populiarintojas Erikas T. Belas, parašęs daugelio žymių matematikų biografijas, jį pakrikštijo „Mėgėjų kunigaikščiu“. Publikacijos ir pripažinimas jam nieko nereiškė, ir jis jautėsi laimingas, galėdamas netrikdomai atsiduoti savo aistrai įrodinėti ir kurti naujas teoremas. Ferma buvo geras šelmis ir, susisiekdamas su kitais matematikais, erzindavo juos savo paslaptingumu. Laiškuose išdėstęs savo naujausias teoremas ir nepateikęs jokių įrodymų, jis tarsi mesdavo iššūkį kitiems. Tai, jog jis niekada neatskleisdavo savo įrodymų, sukeldavo didelį nusivylimą. Rene Dekartas pavadino Ferma pagyrūnu, o anglų matematikas Džonas Valis vadindavo jį „tas prakeiktas prancūzas“. Kartą Ferma nustatė, kad skaičius 26 yra vienintelis, iš kurio atėmus 1, gausime kvadratą, o pridėjus 1 – kubą (iš tikrųjų, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_4e834ef3514d81c748574a8fb52cc31f.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="26 - 1=5^2" /></span><script type='math/tex'>26 - 1=5^2</script>, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_8904b36781eb66ab82cf6407c379bda6.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="26 + 1=3^3" /></span><script type='math/tex'>26 + 1=3^3</script>), ir metė iššūkį matematikų bendrijai, siūlydamas tai įrodyti. Nepaisant uždavinio formuluotės paprastumo, jo sprendimas buvo gana sudėtingas, ir Ferma mėgavosi, šaipydamasis iš anglų matematikų D. Valio ir K. Digbio, kurie galų gale buvo priversti prisipažinti pralaimėję, nes nesugebėjo įveikti šio uždavinio.</span></p> <p>Laimei, vyriausiasis Ferma sūnus, Klementas-Samiuelis, suvokęs visą didžiausios tėvo aistros reikšmę, nusprendė, jog jo atradimai neturėtų pradingti. Penkerius metus Klementas-Samiuelis rinko bei tyrė neaiškius tėvo užrašus bei pastabas „Aritmetikos“ paraštėse, ir atliko nepaprastai sudėtingą ir atsakingą darbą, 1670 metais Tulūzoje išleidęs knygą „Diofanto Aritmetika su p. de Ferma pastabomis“. Kai Ferma „pastabos“ tapo žinomos platesniam mokslininkų ratui, visi suprato, kad laiškai, kuriuos jis siųsdavo savo kolegoms, buvo tik trumpos ištraukos iš pasakiško atradimų lobyno. Tarp užrašytų Ferma ranka pastabų buvo gausu naujų teoremų, užrašytų visiškai be paaiškinimų, arba turėjusių tik nedidelę įrodymų santrauką, kurioje būdavo pateikiama tik keletą loginių žingsnių, leidžiančių suprasti, jog Ferma žinojo įrodymo seka.</p> <div> <dl id="attachment_2907"> <dt> <figure style="width: 810px" class="wp-caption aligncenter"><a href="http://www.konstanta.lt/wp-content/uploads/2017/01/Leonidas_Sakalauskas_1_2.png" rel="attachment wp-att-2907"><img src="http://www.konstanta.lt/wp-content/uploads/2017/01/Leonidas_Sakalauskas_1_2-1024x299.png" alt="Ferma spiralė, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_ad774a2e0cd9107d7243c9b1043bb474.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="r=\pm q^{1/2}" /></span><script type='math/tex'>r=\pm q^{1/2}</script>, r – spiralės taško atstumas nuo centro, q – jo posūkio nuo horizontalios ašies kampas" width="810" height="237" /></a><figcaption class="wp-caption-text">1 pav. Ferma spiralė, r=+- q^1/2, r – spiralės taško atstumas nuo centro, q – jo posūkio nuo horizontalios ašies kampas</figcaption></figure> </dt> <dd></dd> </dl> </div> <p>Čia vertėtų prisiminti, jog Ferma gyveno ir kūrė baigiantis vėlyvojo Renesanso epochai, kai Europoje suklestėjo baroko architektūra, menai ir knygų leidyba. Tą laikmetį geriausiai apibūdina posakis, jog trys gražiausi pasaulyje dalykai yra šokanti moteris, šuoliuojantis žirgas ir išskleistomis burėmis plaukiantis laivas. Kultūros klestėjimą lydėjo spartus pramonės ir prekybos vystymasis, nulėmęs daugelio mokslų atsiradimą ir raidą. <span lang="lt-LT">Nors Pjeras de Ferma domėjosi, iš pirmo žvilgsnio, nereikšmingais galvosūkiais, jo įžvalgų galima atrasti daugelio mokslų, pradėjusių savo plėtotę tuo metu, ištakose, ir nemažai jų pasiekė net mūsų laikus. 1636 m. Ferma atrado spiralę, vėliau pavadintą jo vardu, kurią, pasirodo, galima pritaikyti saulėgrąžos, ramunių ar kitų astrinių (graižažiedžių) augalų žiedynams aprašyti (1 pav.), bet ne tik tuo tikslu. Dabar randama būdų, kaip šią spiralę būtų galima pritaikyti kompiuterių grafikoje arba išdėstyti jos elementus saulės elektrinių veidrodžiuose, ir pan. O vyresniųjų klasių moksleiviams mokyklose dažnai tenka spręsti uždavinius, taikant minimumo arba maksimumo sąlygą, kurią pirmasis nustatė Ferma. Nepriklausomai nuo Dekarto jis pradėjo algebrines išraiškas vaizduoti geometriškai, t.y., sukūrė analitinės geometrijos pradmenis. Jis mokėjo anksčiau už Izaoką Niutoną taikyti diferencijavimo ir integravimo metodus sudėtingų figūrų plotams apskaičiuoti arba išvesti liestinėms. Beje, I. Niutonas minėjo, kad, būtent, pažintis su Ferma darbais jį paskatino sukurti diferencialinį ir integralinį skaičiavimą. Kartu su Paskaliu Ferma gali būti laikomas tikimybių teorijos pradininku. Ferma vardu pavadintas pagrindinis geometrinės optikos dėsnis, pagal kurį šviesa sklinda tokiu keliu nevienalytėje terpėje, kuriam reikia trumpiausio laiko ir t. t.</span></p> <p>Tačiau didžiausių nuopelnų Ferma pasiekė skaičių teorijoje. Ferma atrado, jei a nesidalija iš p ir p yra pirminis, tai (<span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_02c9e9fbfdf9808ca92e2699d0620080.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="a^{p-1} - 1" /></span><script type='math/tex'>a^{p-1} - 1</script>) dalijasi iš p. Pavyzdžiui, tegul a=2, p=7. Skaičius 7 yra, be abejo, pirminis. Taigi, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_739b52aa5144df6201897974f01e750c.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="a^{p-1} - 1 = 2^7-1 ? 1 = 63 = 7 \cdot 9" /></span><script type='math/tex'>a^{p-1} - 1 = 2^7-1 ? 1 = 63 = 7 \cdot 9</script>.</p> <p>Šis rezultatas, pavadintas Mažąja Ferma teorema, turi labai daug apibendrinimų bei pritaikymų. Skaitytojams siūlome priimti Mėgėjų kunigaikščio iššūkį ir pabandyti šią teoremą įrodyti patiems. Tie, kam pritrūks kantrybės, gali rasti įrodymą straipsnelio pabaigoje.</p> <p>Ferma taip pat teigė, jog bet kurį pirminį skaičių, kuris dalijasi iš 4 su liekana 1, galima išreikšti dviejų kvadratų suma, ir tik vieninteliu būdu, o besidalijantį iš 4 su liekana 3, taip išreikšti jau nebegalima. Ir iš tikrųjų: <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_396a136ca655294787e9a18546e392ca.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="5=2^2 + 1^2" /></span><script type='math/tex'>5=2^2 + 1^2</script>; <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_1f0d630d7aab8d978be137d733783bf3.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="13=3^2+2^2" /></span><script type='math/tex'>13=3^2+2^2</script>, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_d7a875e71604f4f41584e67e6fb9644c.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="17= 4^2 + 1^2" /></span><script type='math/tex'>17= 4^2 + 1^2</script>, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_3bde5c71067f2d0732e27d1598d0e3f1.gif' style='vertical-align: middle; border: none; padding-bottom:2px;' class='tex' alt="\dots" /></span><script type='math/tex'>\dots</script> , o <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_2d913e60b3dd5fa08be63362560369af.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="23 = 4\cdot5 + 3" /></span><script type='math/tex'>23 = 4\cdot5 + 3</script> šitaip išreikšti jau nebeįmanoma. Vienas žymiausių visų laikų matematikų, šveicaras Leonardas Euleris, daug metų dirbęs Sankt Peterburge, sugaišo 7 metus, kol įrodė šią Ferma hipotezę, kurią pats Ferma įrodinėjo jo atrastu “nusileidimo metodu”. Ferma taip pat sukūrė skaičiaus daliklių sistemingo radimo būdą, atrado, jog bet kurį sveikąjį skaičių galima išreikšti ne daugiau nei keturių kvadratų suma bei daugybė kitų atradimų, kurie aplenkė savo laikmetį, buvo pamiršti ir po ilgo laiko vėl atrasti.</p> <p>1989 m. Tulūzos universitetas įsteigė Ferma premiją (20 000 Eur), kuri kas dveji metai įteikiama už reikšmingus tyrimus mokslo srityse, prie kurių ištakų jis prisidėjo. Viso jau įteikta 14 premijų.</p> <p><strong>Matematikos trilerio pradžia</strong></p> <p>O didžiausios šlovės sulaukė Ferma iššūkis, kurį jis metė visam pasauliui. Tikriausiai, daugelis skaitytojų iš vidurinės mokyklos matematikos pamokų dar prisimena Pitagoro teoremą, tvirtinančią, jog stataus trikampio statinių kvadratų suma yra lygi įstrižainės kvadratui? Sprendiniai, kuriuos galima išreikšti sveikais skaičiais, yra įdomiausi, pvz., jei stačiakampio kambario sienų ilgiai yra atitinkamai 3m ir 4m, tai nesunku įsitikinti, jog atstumas tarp tolimiausių kambario kampų bus 5m, nes <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_cee2f7da80b8bed0fb6a32465ed8978a.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="9 + 16 = 25" /></span><script type='math/tex'>9 + 16 = 25</script>, t.y., <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_b296e6b49ff070377fbf9fedc5929ab4.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="3^2 + 4^2 = 5^2" /></span><script type='math/tex'>3^2 + 4^2 = 5^2</script>. Taigi, perrašinėdamas įvairiais būdais Pitagoro lygtį, Ferma mėgino pastebėti kažką tokio, ko nepastebėjo kiti. Staiga jam kilo geniali mintis, kuri padarė Mėgėjų kunigaikščio vardą nemirtingą.</p> <p>Ferma sugalvojo lygtį, labai panašią į Pitagoro:</p> <p align="CENTER"><span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_ba5af5de44ecd6964b3f80b676045a2a.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="x^n + y^n = z^n" /></span><script type='math/tex'>x^n + y^n = z^n</script>,</p> <p>kuri, jo nuomone, neturi nė vieno sveikaskaičio sprendinio! Diofanto „Aritmetikos“ paraštėse Ferma 1637 m. paliko tokį pastebėjimą: „Neįmanoma kubo užrašyti dviejų kubų suma, arba ketvirtą laipsnį užrašyti ketvirtų laipsnių suma, arba, bendrai bet kuriam skaičiui, kuris yra aukštesnio laipsnio, nei antras, būti užrašytam dviejų to paties laipsnio skaičių suma. Aš radau iš tiesų nuostabų šio teiginio įrodymą, bet paraštės čia per siauros jam sutalpinti.“ Ir tame visas Ferma! Nors jis niekam neatskleidė savo įrodymo, garsas apie Didžiąją Ferma teoremą, kaip ji vėliau buvo pradėta vadinti, pasklido labai plačiai.</p> <p>Per dešimtmečius ir šimtmečius, praėjusius po knygos su Ferma pastabomis išleidimo, viena po kitos buvo patikrintos arba įrodytos visos Ferma pastabos, užrašytos Diofanto „Aritmetikos“ paraštėse, bet pastangos įrodyti Didžiąją Ferma teoremą likdavo bergždžios, nors spręsti šį uždavinį ėmėsi daugelis profesionalių matematikų ir matematikos mėgėjų. Apie šio matematikos trilerio peripetijas pakalbėsime kitąkart, nes viename straipsnelyje jas nėra paprasta išguldyti.</p> <p><strong>Mažosios Ferma teoremos įrodymas</strong></p> <p>Įrodysime prieštaros būdu, kad jei <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_b5569b7982357230d5fa7b02ee8ead86.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="a^{p-1}" /></span><script type='math/tex'>a^{p-1}</script> nesidalija iš p, tai padalijus visus sekos <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_01f983482b096f21fe32dead64f15e20.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="1?a, 2?a, 3?a, \dots, (p-1) ?a" /></span><script type='math/tex'>1?a, 2?a, 3?a, \dots, (p-1) ?a</script> narius iš p, liekanos irgi bus skirtingos. Iš tikrųjų, sakykime, tegul pavyktų rasti du skirtingus šios sekos narius, besidalijančius iš p su vienodomis liekanomis. Tuomet šių skaičių skirtumas, be abejo, turi dalintis iš p, nes liekanos juk vienodos. Kita vertus, kadangi visi sekos nariai dalijasi iš a, bet kurių skirtingų šios sekos narių skirtumas turi dalintis iš a taip pat. Kadangi skaičius a nesidalija iš p pagal padarytą prielaidą, minėtas skirtumas turi dalintis iš sandaugos a∙p. Kita vertus, skirtingų sekos skaičių skirtumas yra nelygus nuliui, tad jo mažiausia galima reikšmė yra a∙p. Tačiau nagrinėjamoje sekoje visi skaičiai mažesni už a∙p, tad ir jų skirtumas turi būti mažesnis (absoliutiniu didumu) už šį skaičių. Gavome prieštaravimą, nes padalinti skaičių iš didesniojo ir gauti sveiką dalmenį yra neįmanoma. Taigi, įrodėme, jog dalijant aukščiau minėtos sekos narius iš p, bus gautos skirtingos liekanos. Tad liekanos, kurių iš viso yra (p - 1), turi būti skirtingos ir mažesnės už p. Tai įmanoma tik tokiu atveju, kai liekanų aibę sudaro visi skaičiai nuo 1 iki p – 1.<br /> Pažymėkime, kaip įprasta matematikoje, visų skaičių nuo 1 iki p-1 sandaugą per <code class='tex2jax_ignore'>\((p - 1)\)</code>, t.y. <code class='tex2jax_ignore'>\(1∙2∙3∙\dots∙(p - 1) =(p - 1)\)</code>. Dabar sudauginkime visus nagrinėjamos sekos narius ir gautą sandaugą užrašykime tokiu būdu:</p> <p align="CENTER"><span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_8d49fba6c0c2b347df86d5f713fcdf0a.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="1?a?2?a?3?a???(p - 1) ?a=(p - 1)! ?a^{p-1}" /></span><script type='math/tex'>1?a?2?a?3?a???(p - 1) ?a=(p - 1)! ?a^{p-1}</script>.</p> <p>Kadangi nė vienas šios sandaugos dauginamasis nesidalija iš p, iš p nesidalija ir visa sandauga. Nesunku pastebėti, jog šią sandaugą padalijus iš p, gauta liekana sutaps su visų dauginamųjų liekanų sandaugos liekana. O ką tik įrodėme, jog ši dauginamųjų liekanų sandauga sutaps su visų skirtingų skaičių nuo 1 iki p-1 sandauga, t.y., <code class='tex2jax_ignore'>\((p - 1)\)</code> Taigi, gausime, kad <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_fef6456776d082d808d0c93655104c26.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="(p - 1)! ?a^{p-1}" /></span><script type='math/tex'>(p - 1)! ?a^{p-1}</script> ir <code class='tex2jax_ignore'>\((p - 1)\)</code> , dalijant iš p, turi tą pačią liekaną. Iš čia seka, kad skirtumas <code class='tex2jax_ignore'>\((p - 1)! ∙a^{p-1} - (p - 1)\)</code> turi dalintis iš p. Pastarąją išraišką suprastinę iš nesidalijančio iš p skaičiaus <code class='tex2jax_ignore'>\((p - 1)\)</code> (juk p pirminis!), gauname, jog <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_8ce1b658d8b24f2be7d61bb187bec3f0.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="a^{p-1} ? 1" /></span><script type='math/tex'>a^{p-1} ? 1</script> turi dalintis iš p, ką ir reikėjo įrodyti.</p>
 
 
Medeišio fanklubas
13 January 2017 @ 07:52 pm

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Šio straipsnio nebūtų buvę, jei ne mano rėmėjai Patreon platformoje. Ačiū jiems!

Praėjo maždaug metai nuo tada, kai CalTech mokslininkai paskelbė tyrimo rezultatus, rodančius, kad Saulės sistemos pakraštyje galimai egzistuoja devinta planeta. Per tą laiką publikuota kelios dešimtys mokslinių straipsnių ir daryta daugybė pranešimų apie tikėtinas planetos savybes, jos kilmę, poveikį likusiai Saulės sistemai ir paieškas. Ką iš jų sužinojome?Read the rest of this entry »Collapse )

 
 
 
Medeišio fanklubas

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Dvidešimt ketvirtasis, paskutinis, mokslo populiarinimo konkurso darbas. Vytauto Didžiojo universiteto Aplinkotyros ir ekologijos studijų ketvirtakursė Vilgailė Narkevičiūtė rašo apie augalų stresą. Skaitykite tekstą žemiau.

Augalų stresas: kaip augalai reaguoja į juos supančią aplinką

Vilgailė Narkevičiūtė

Gamta nuolatos mus stebina savo įdomybėmis. Mokslininkai, vis giliau ir giliau lenda į jos pasaulį ir atranda naujų dalykų. Ne išimtis ir augalų stresas. Norint gerai „pažinti“ augalą, reikia pasidomėti ir jo fiziologija. Kai išgirstame žodį - stresas, dažniausiai pagalvojame apie žmogų, apie jo fiziologiją, kaip jis reaguoja į tam tikrus stresorius. Tačiau augalai taip pat patiria stresą, t.y. augalas reaguoja į jam netinkančius, nepalankius sąlygų veiksnius. Nepalanki aplinka, sutrikdo augalo fiziologinius procesus, mažina augimą, o kartais ir žudo jį. Veikiamo augalo mažėja biologinis aktyvumas, sutrinka kai kurios funkcijos, kurios atsigauna. Tačiau funkcijos gali atsigauti ir nepilnai, augalas adaptuojasi arba prisitaiko. Kiekvieno augalo fiziologinės savybės skirtingos, todėl ir atsparumas nepalankioms sąlygoms skiriasi. Tai priklauso nuo medžiagų apykaitos, morfologinės ir anatominės struktūros, augalo prigimties, užsigrūdinimo. Vieni augalai sulėtina fiziologinius procesus ar net visiškai sustabdo, pavyzdžiui, išgyvena žiemos šaltį, kiti augalai savo procesus suaktyvina, intensyvėja kvėpavimas, taip pat kaupia daugiau organinių medžiagų.vilgaile_narkeviciute_1

Tačiau augalą galima grūdinti. Taip, grūdinti, kaip žmogus grūdinasi maudydamasis po šaltu dušu. Augalo atsparumą nepalankioms sąlygoms galima didinti, po truputį prie jų pratinant. Tuomet savo augimo metu augalas patiria stresą, bet nemiršta, jis kaupia genetinę informaciją ir ją saugo kitoms kartoms. Ši augalo savybė vadinama homeostaze, ją turi ir žmogus. Augalai didinti atsparumą moka ir patys, kai jie patiria natūralius aplinkos sąlygų pakitimus.

vilgaile_narkeviciute_2

Augalai, atsparūs žemoms temperatūroms, nustoja augti arba sulėtina augimą vidutinėse platumose dažniausiai esant 4°C temperatūrai. Jei žema temperatūra užsitęsia per ilgai, augalas gali nepilnai atsigauti, blogai derėti, vysti, prarasti chlorofilus. Chlorofilus kartais vadina „augalų krauju“, nes jis reikalingas taip pat, kaip žmogui reikalingas kraujas. Cheminiu požiūriu chlorofilas yra panašus į hemoglobiną. Chlorofilas yra žalios spalvos augalinis pigmentas ir nudažo lapus žaliai. Dalyvauja fotosintezėje ir augaluose kaupia saulės energiją. Žemas temperatūras augalui visada lengviau yra pakelti, kuris pakankamai aprūpintas vitaminais bei mikroelementais. Neigiamoms temperatūroms ir šalnoms jautriausi yra lapai, žiedai, ūgliai – augalo dalys, kuriose daugiausiai yra vandens. Nukritus temperatūrai iki -10° C, fiziologiniai procesai nebevyksta arba vyksta labai lėtai. Augalai, baigę vegetaciją lengviau pakelia šaltas žiemas, pvz., medžių ūgliai gali pakelti net iki -60° C šaltį, o sausa sėkla net iki -200° C. Prie neigiamos temperatūros, ląstelių vanduo kristalizuojasi. Kristalai atima vandenį iš ląstelių, citoplazmos baltymai koaguliuoja, praranda struktūrą bei judrumą. Augalas ramybės būsenoje yra gerokai labiau atsparus šalčiui, nei augantis. Kad pereitų į ramybės būseną, augalas turi sulaukti signalo, temperatūros žemėjimo iki minus kelių laipsnių, tuomet jis padidina atsparumą šalčiui. Todėl augalams yra sunku ištverti periodus, kai nuo pliusinės temperatūros, per naktį staigiai nukrenta iki minuso. Augalams reikia laiko pasiruošti šalčiams, pavyzdžiui, spėti numesti lapus, sumažinti vandens garinimą, krakmolą suskaidyti į paprastesnius angliavandenius. Kai kurie augalai, dažniausiai atvežtinai tropiniai patiria letalinę temperatūrą, neprisitaikę prie didelių žemų temperatūrų, jie žūsta. Žiemojantys augalai patiria ir kitokias sąlygas, kaip organinių medžiagų trūkumas, augalai gali išmirkti, uždusti, įšalti į ledo plutą. Augalai iššunta, kai būna stora sniego danga ir jie yra po ja, o temperatūra jų aplinkai būna apie nulį. Augalams tenka intensyviau kvėpuoti, naudoti daugiau maisto medžiagų, nevyksta fotosintezė. Ledas taip pat yra iššūkis augalui. Pasitaiko, kad augalas įšąla į ledo plutą arba atsiduria po juo ir augalui tenka lėčiau kvėpuoti, tuomet sutrinka medžiagų ir energijos apykaita.

vilgaile_narkeviciute_3

vilgaile_narkeviciute_4

Yra ir kita streso pusė. Tai karštis. Daugumai augalų tai didesnė nei 35° C temperatūra. Aukštoje temperatūroje sulėtėja arba visai sustoja fotosintezė. Tiesiogiai augalai nukenčia dėl protoplazmos koaguliavimo, kuris sukelia atskirų augalų dalių žūtį, o netiesiogiai nukenčia nuo fotosintezės sulėtėjimo, taip pat kvėpavimo proceso suintensyvėjimo. Kai ateina sausros, labiausiai augalai kenčia, kai dirvožemio ir oro sausros būna vienu metu. Augalai prie sausros prisitaiko skirtingai. Vieni turi lapus su storu vaško sluoksniu, kiti mėsingus lapus, dar kitų lapai yra siūliški, siauri, susukti į vamzdelį, nes per tokius lapus yra mažiau išgarinama vandens. Nuo sausros gelbėjasi ir mesdami lapus, stabdydami vegetaciją. Taip pat sausras pakelti lengviau augalams su giliai augančiomis šaknimis. Dėl vandens trūkumo lėtėja augalo augimas, ypatingai jautresni jauni augalai. Tačiau neigiamai augalus veikia ir vandens perteklius, kadangi jiems pradeda trūkti deguonies, juose kaupiasi nuodingi junginiai.

vilgaile_narkeviciute_5

Ne tik žmogui ar gyvūnui, gyvenančiam mieste tenka kasdien susidurti su oro teršalais, bet ir augalui. Pramonės įmonės, automobiliai kenkia ir augalams. Augalą dažniausiai paveikia sieros dioksidas (SO_2) ir azoto oksidai (NO_x). Patekusios į augalo audinius, šios dujos sukelia protoplazmos, chloroplastų irimą. Dažnai jos patenka per rūgštųjį lietų. Augalus dažnai paveikia ir ore esančios dulkės. Dažniausiai tokie augalai pastebimi netoli pramonės įmonių, pakelėse, kur intensyvesnis automobilių srautas. Dulkės sugeria dalį šviesos, užkemša žioteles, taip mažina augalų produktyvumą.

 

 
 
Medeišio fanklubas

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Dvidešimt ketvirtasis, paskutinis, mokslo populiarinimo konkurso darbas. Vytauto Didžiojo universiteto Aplinkotyros ir ekologijos studijų ketvirtakursė Vilgailė Narkevičiūtė rašo apie augalų stresą. Skaitykite tekstą žemiau.

Augalų stresas: kaip augalai reaguoja į juos supančią aplinką

Vilgailė Narkevičiūtė

Gamta nuolatos mus stebina savo įdomybėmis. Mokslininkai, vis giliau ir giliau lenda į jos pasaulį ir atranda naujų dalykų. Ne išimtis ir augalų stresas. Norint gerai „pažinti“ augalą, reikia pasidomėti ir jo fiziologija. Kai išgirstame žodį - stresas, dažniausiai pagalvojame apie žmogų, apie jo fiziologiją, kaip jis reaguoja į tam tikrus stresorius. Tačiau augalai taip pat patiria stresą, t.y. augalas reaguoja į jam netinkančius, nepalankius sąlygų veiksnius. Nepalanki aplinka, sutrikdo augalo fiziologinius procesus, mažina augimą, o kartais ir žudo jį. Veikiamo augalo mažėja biologinis aktyvumas, sutrinka kai kurios funkcijos, kurios atsigauna. Tačiau funkcijos gali atsigauti ir nepilnai, augalas adaptuojasi arba prisitaiko. Kiekvieno augalo fiziologinės savybės skirtingos, todėl ir atsparumas nepalankioms sąlygoms skiriasi. Tai priklauso nuo medžiagų apykaitos, morfologinės ir anatominės struktūros, augalo prigimties, užsigrūdinimo. Vieni augalai sulėtina fiziologinius procesus ar net visiškai sustabdo, pavyzdžiui, išgyvena žiemos šaltį, kiti augalai savo procesus suaktyvina, intensyvėja kvėpavimas, taip pat kaupia daugiau organinių medžiagų.vilgaile_narkeviciute_1

Tačiau augalą galima grūdinti. Taip, grūdinti, kaip žmogus grūdinasi maudydamasis po šaltu dušu. Augalo atsparumą nepalankioms sąlygoms galima didinti, po truputį prie jų pratinant. Tuomet savo augimo metu augalas patiria stresą, bet nemiršta, jis kaupia genetinę informaciją ir ją saugo kitoms kartoms. Ši augalo savybė vadinama homeostaze, ją turi ir žmogus. Augalai didinti atsparumą moka ir patys, kai jie patiria natūralius aplinkos sąlygų pakitimus.

vilgaile_narkeviciute_2

Augalai, atsparūs žemoms temperatūroms, nustoja augti arba sulėtina augimą vidutinėse platumose dažniausiai esant 4°C temperatūrai. Jei žema temperatūra užsitęsia per ilgai, augalas gali nepilnai atsigauti, blogai derėti, vysti, prarasti chlorofilus. Chlorofilus kartais vadina „augalų krauju“, nes jis reikalingas taip pat, kaip žmogui reikalingas kraujas. Cheminiu požiūriu chlorofilas yra panašus į hemoglobiną. Chlorofilas yra žalios spalvos augalinis pigmentas ir nudažo lapus žaliai. Dalyvauja fotosintezėje ir augaluose kaupia saulės energiją. Žemas temperatūras augalui visada lengviau yra pakelti, kuris pakankamai aprūpintas vitaminais bei mikroelementais. Neigiamoms temperatūroms ir šalnoms jautriausi yra lapai, žiedai, ūgliai – augalo dalys, kuriose daugiausiai yra vandens. Nukritus temperatūrai iki -100 C, fiziologiniai procesai nebevyksta arba vyksta labai lėtai. Augalai, baigę vegetaciją lengviau pakelia šaltas žiemas, pvz., medžių ūgliai gali pakelti net iki -600 C šaltį, o sausa sėkla net iki -2000 C. Prie neigiamos temperatūros, ląstelių vanduo kristalizuojasi. Kristalai atima vandenį iš ląstelių, citoplazmos baltymai koaguliuoja, praranda struktūrą bei judrumą. Augalas ramybės būsenoje yra gerokai labiau atsparus šalčiui, nei augantis. Kad pereitų į ramybės būseną, augalas turi sulaukti signalo, temperatūros žemėjimo iki minus kelių laipsnių, tuomet jis padidina atsparumą šalčiui. Todėl augalams yra sunku ištverti periodus, kai nuo pliusinės temperatūros, per naktį staigiai nukrenta iki minuso. Augalams reikia laiko pasiruošti šalčiams, pavyzdžiui, spėti numesti lapus, sumažinti vandens garinimą, krakmolą suskaidyti į paprastesnius angliavandenius. Kai kurie augalai, dažniausiai atvežtinai tropiniai patiria letalinę temperatūrą, neprisitaikę prie didelių žemų temperatūrų, jie žūsta. Žiemojantys augalai patiria ir kitokias sąlygas, kaip organinių medžiagų trūkumas, augalai gali išmirkti, uždusti, įšalti į ledo plutą. Augalai iššunta, kai būna stora sniego danga ir jie yra po ja, o temperatūra jų aplinkai būna apie nulį. Augalams tenka intensyviau kvėpuoti, naudoti daugiau maisto medžiagų, nevyksta fotosintezė. Ledas taip pat yra iššūkis augalui. Pasitaiko, kad augalas įšąla į ledo plutą arba atsiduria po juo ir augalui tenka lėčiau kvėpuoti, tuomet sutrinka medžiagų ir energijos apykaita.

vilgaile_narkeviciute_3

vilgaile_narkeviciute_4

Yra ir kita streso pusė. Tai karštis. Daugumai augalų tai didesnė nei 350 C temperatūra. Aukštoje temperatūroje sulėtėja arba visai sustoja fotosintezė. Tiesiogiai augalai nukenčia dėl protoplazmos koaguliavimo, kuris sukelia atskirų augalų dalių žūtį, o netiesiogiai nukenčia nuo fotosintezės sulėtėjimo, taip pat kvėpavimo proceso suintensyvėjimo. Kai ateina sausros, labiausiai augalai kenčia, kai dirvožemio ir oro sausros būna vienu metu. Augalai prie sausros prisitaiko skirtingai. Vieni turi lapus su storu vaško sluoksniu, kiti mėsingus lapus, dar kitų lapai yra siūliški, siauri, susukti į vamzdelį, nes per tokius lapus yra mažiau išgarinama vandens. Nuo sausros gelbėjasi ir mesdami lapus, stabdydami vegetaciją. Taip pat sausras pakelti lengviau augalams su giliai augančiomis šaknimis. Dėl vandens trūkumo lėtėja augalo augimas, ypatingai jautresni jauni augalai. Tačiau neigiamai augalus veikia ir vandens perteklius, kadangi jiems pradeda trūkti deguonies, juose kaupiasi nuodingi junginiai.

vilgaile_narkeviciute_5

Ne tik žmogui ar gyvūnui, gyvenančiam mieste tenka kasdien susidurti su oro teršalais, bet ir augalui. Pramonės įmonės, automobiliai kenkia ir augalams. Augalą dažniausiai paveikia sieros dioksidas (SO2) ir azoto oksidai (NOx). Patekusios į augalo audinius, šios dujos sukelia protoplazmos, chloroplastų irimą. Dažnai jos patenka per rūgštųjį lietų. Augalus dažnai paveikia ir ore esančios dulkės. Dažniausiai tokie augalai pastebimi netoli pramonės įmonių, pakelėse, kur intensyvesnis automobilių srautas. Dulkės sugeria dalį šviesos, užkemša žioteles, taip mažina augalų produktyvumą.

 

 
 
Medeišio fanklubas

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Dvidešimt trečiasis mokslo populiarinimo konkurso darbas. Karolina Brazauskaitė rašo apie miego paralyžių. Skaitykite tekstą žemiau.Read the rest of this entry »Collapse )

 
 
Medeišio fanklubas
09 January 2017 @ 11:56 pm

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Pirmosios metų savaitės naujienos - naujos kosminės misijos, Marso ledynų stebėjimas, bei daugybė įdomybių iš Amerikos astronomų sąjungos susitikimo, kuris vyko Teksaso valstijoje. Ten ir keistuoliai pulsarai, ir tolimos juodosios skylės, ir dar šis tas. Skaitykite, kaip visada, po kirpsniuku.
KeliaujamCollapse )

 
 
Medeišio fanklubas

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Dvidešimt pirmasis mokslo populiarinimo konkurso darbas. Jo autorė - VU biochemijos krypties doktorantė Miglė Kazlauskienė. Ji rašo apie RNR nutildymą ir genų išraiškos stabdymą, nesunaikinant pačių genų. Skaitykite tekstą žemiau.Read the rest of this entry »Collapse )