?

Log in

Medeišio fanklubas

SVARBU: blogas persikėlė į www.konstanta.lt. Čia nauji įrašai taip pat skelbiami, bet komentuoti galėsite tik ten.

Sveiki apsilankę 42-osios konstantos bloge. Šis blogas – kadaise buvęs keturių, o dabar telikęs vieno truputį pakvaišusio astrofiziko darbo (ir tinginystės) vaisius, kuriame pristatomi įvairūs dalykai, susiję su fizika ir kitais mokslais. Taip pat kartais pasitaiko įrašų apie fantastiką, tolkinizmą, istoriją ir kitokius gykiškus dalykus. Kviečiu skaityti ir komentuoti – man įdomu, ar jums patinka tai, ką skaitote, ar suprantamai parašyta apie mokslinius dalykus, galbūt kažką galima pakeisti ar praplėsti.

Apie autorių: šiuo metu dirbu Vilniuje, Fizinių ir technologijos mokslų centre. 2012 m. baigiau teorinės astrofizikos doktorantūros studijas Lesterio universitete (University of Leicester) Jungtinėje karalystėje. Tyrimų sritis – supermasyviųjų juodųjų skylių sąveikos su aplinkine galaktikų materija modeliavimas. Laisvalaikiu dar užsiiminėju tolkinizmu, skaitinėju visokią fantastiką, retkarčiais paišau fantastinius žemėlapius ir darau kitokius gykiškus dalykus. O žymiai daugiau apie mane žinoti didelio reikalo nėra :)

Kodėl konstanta_42: Jei skaitėte arba matėte “Keliautojo kosmostopu vadovą po galaktiką” (“The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy”), klausimo kilti neturėtų. Jei neskaitėte ir nematėte – vertėtų šią išsilavinimo spragą užtaisyti, tad tiesiog pasakysiu, jog tai yra atsakymas į visus gyvenimo klausimus.

Kodėl “Medeišio fanklubas”: Todėl, kad doc. A. Medeišis yra visų fizikų idealas ir šiaip labai mylimas dėstytojas.

Sveiki atvykę :)

Laiqualasse

P.S. Konstantą jau galite rasti ir veidaknygėje (t.y. facebook‘e)!

 
 
Medeišio fanklubas

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Prieš porą valandų NASA paskelbė, kad aptiko septynias Žemės dydžio planetas prie vienos žvaigždės. Žvaigždė, kodiniu pavadinimu TRAPPIST-1, naujienose minima ne pirmą kartą: pernai buvo paskelbta apie trijų uolinių planetų aptikimą greta jos (Nature straipsnis). Šios planetos buvo aptiktos dviem teleskopais, kurie kartu vadinami TRAPPIST - iš čia ir žvaigždės pavadinimas. Norėdami geriau nustatyti tų planetų savybes, mokslininkai pasitelkė Spitzer infraraudonųjų spindulių kosminį teleskopą. Juo jie matavo žvaigždės, 12 kartų už Saulę mažesnės masės nykštukės, šviesą. Planetoms skriejant per žvaigždės diską, šviesa pritemdavo. Šitaip pavyko nustatyti visų septynių planetų egzistavimą, jų orbitų periodus ir jų spindulius. Šešių planetų orbitiniai periodai - 1.51, 2.42, 4.04, 6.06, 9.1 ir 12.35 dienos - yra artimi rezonansui, t.y. jų tarpusavio santykiai gali būti išreikšti nedidelių sveikųjų skaičių santykiais (beje, jie sudaro vos ne Fibonačio seką). Planetų spinduliai yra nuo maždaug pusės iki maždaug pusantro Žemės spindulio. Šių planetų masių nežinome, tačiau kitų egzoplanetų duomenys leidžia spręsti, kad visos septynios planetos turėtų būti uolinės.Read the rest of this entry »Collapse )

 
 
Medeišio fanklubas
20 February 2017 @ 10:56 pm

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Statistika padeda nustatyti, kaip toli esame nuo Galaktikos centro. Statistika išsprendžia gilias kosmologines problemas. Statistiškai netikėtas įvykis - ką tik įvykusio supernovos sprogimo užfiksavimas - padeda geriau suvokti žvaigždžių evoliuciją. Kur pažvelgsi, visur statistika. Apie statistines ir anomalias naujienas - po kirpsniuku.

VidurkinamCollapse )

 
 
Medeišio fanklubas

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

NASA paskelbė, kad trečiadienį spaudos konferencijoje pristatys kažkokį įdomų atradimą, susijusį su egzoplanetomis. Tai gali būti kažkas tikrai groundbreaking (net ir nežemiškos gyvybės signalas), gali būti kažkas įspūdingo (pavyzdžiui panašiausia į Žemę egzoplaneta), o gali būti ir kokia nors išpūsta smulkmena. Po poros dienų sužinosime. Konferencijos pradžia - 8 val. vakaro Lietuvos laiku.

Laiqualasse

 
 
Medeišio fanklubas
14 February 2017 @ 12:39 am

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Praėjusios savaitės naujienose yra daug Saulės sistemos – čia ir vandens ledas Merkurijuje, ir nusileidimo Veneroje perspektyvos, ir Jupiterio bei Saturno palydovai. Yra naujienų ir iš toliau – kamuolinių spiečių su juodosiomis skylėmis, egzoplanetų paieškų ir ardomų žvaigždžių. Apie viską, kaip įprasta, skaitykite po kirpsniuku.DairomėsCollapse )

 
 
 
Medeišio fanklubas
11 February 2017 @ 10:14 pm

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Ir vasario mėnesį mano skaitytojai man žada duoti 50 dolerių, taigi tęsiu savo pažadą ir rašau tekstą, kurio kitaip nebūtų buvę. Jei tokių tekstų norite daugiau arba norite siūlyti jų temas – prisidėkite prie paramos Konstantai ir jūs!

Kai prieš metus buvo paskelbta apie pirmąjį tiesioginį gravitacinių bangų aptikimą, daugumoje komentarų buvo pabrėžiama, jog jos atveria naują langą į kosmosą, kadangi leidžia stebėti jį iš principo kitaip, nei elektromagnetinėmis bangomis. Bet egzistuoja dar viena, taip pat tik po truputį auganti, astronominių stebėjimų kryptis, neparemta elektromagnetinėmis bangomis. Tai – neutrinų astronomija.VaiduokliaujamCollapse )

 
 
Medeišio fanklubas
09 February 2017 @ 09:15 pm

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Trečioji, paskutinė, VU Matematikos ir informatikos instituto profesoriaus Leonido Sakalausko teksto apie Pjerą Ferma dalis. Kaip gi buvo išspręsta Paskutinioji Ferma teorema? Ar tai - jau istorijos pabaiga? Skaitykite žemiau.Read the rest of this entry »Collapse )

 
 
Medeišio fanklubas
07 February 2017 @ 01:03 am

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Praėjusią savaitę buvo kalbama apie astronautų sveikatą, apie palydovų skrydį į Kentauro Alfą, apie galaktikų judėjimą Visatoje ir tamsiosios materijos anihiliaciją. Ir dar daug visokių įdomių dalykų buvo ištirta, atrasta ir paskelbta, o dešimt tų naujienų, kaip visada, rasite po kirpsniuku.
SveikstamCollapse )

 
 
Medeišio fanklubas

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Šiuo metu Marso paviršiuje skysto vandens greičiausiai nėra, o jei ir yra, tai labai retai ir labai trumpai. Bet praeityje, prieš tris ir daugiau milijardų metų, jo buvo daug. Kaip paaiškinti šį skirtumą? Naujame tyrime parodyta, kad geriausias paaiškinimas yra dar 1977-aisiais metais Carl'o Sagan'o iškelta hipotezė apie šiltnamio efektą.GaruojamCollapse )

 
 
Medeišio fanklubas
01 February 2017 @ 08:54 am

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Būna kartais taip, kad svajoji žmogus apie ką nors, svajoji, ir niekaip ta svajonė nesipildo. Tada nusprendi, kad teks pačiam ja užsiimti. Gerai, kai atsiranda bendraminčių, kurie svajonių turi panašių, ir galima sutelkti jėgas bendram darbui.

TechoCollapse )

 
 
 
Medeišio fanklubas
31 January 2017 @ 01:16 am

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Praeitą savaitę įvyko pokyčių NASA valdžioje, sužinojome šį tą naujo apie Saulės sistemos ir Žemės formavimąsi, apie egzomėnulių aptikimo perspektyvas ir net apie Visatos plėtimąsi. Kaip visada, dešimt naujienų – po kirpsniuku. Gero skaitymo!PučiamCollapse )

 
 
Medeišio fanklubas
26 January 2017 @ 01:36 pm

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Prieš kelias savaitės baigėsi ketvirtasis Mokslo populiarinimo konkursas. Jis sulaukė dvidešimt keturių darbų – panašiai, kaip ir ankstesnieji. Buvo atsiųsta pora tekstų, kurių negalėjome priimti (vienas – plagijatas, kitas – pseudomokslas), tačiau apskritai darbų įvairovė džiugina. Buvo ir socialinių mokslų, ir tiksliųjų, ir gamtos, ir aplink matomų dalykų paaiškinimo, ir moderniausių mokslinių tyrimų, ir ko tik nori kitko. O dabar atėjo metas paskelbti, kurie iš darbų yra patys geriausi.NugalėtojaiCollapse )

 
 
Medeišio fanklubas
24 January 2017 @ 09:18 am

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Kaip gaminami teleskopų veidrodžiai, kaip astronomija vyksta Antarktidoje, kuo maskuojasi asteroidai ir kodėl pulsarai skirtingai švyti regimųjų ir gama spindulių diapazone – apie visa tai, ir kitas įdomybes, šios savaitės kąsnelyje. Kaip visada, skaitykite po kirpsniuku.AtsispindimCollapse )

 
 
Medeišio fanklubas
22 January 2017 @ 12:02 pm

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Pristatau antrąjį iš trijų VU Matematikos ir informatikos instituto profesoriaus Leonido Sakalausko tekstų apie garsųjį matematiką Pierre Fermat ir jo palikimą. Šiame tekste, kurį rasite žemiau, rašoma apie šimtmečius trukusius bandymus įrodyti Paskutinę Ferma teoremą.

Read the rest of this entry »Collapse )

 
 
Medeišio fanklubas

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Paukščių Tako pakraštyje yra žvaigždžių, kurios kadaise priklausė kitai galaktikai. Šis kiek netikėtas atradimas padės nustatyti mūsų Galaktikos medžiagos pasiskirstymą ir tikėtiną aplinkinių galaktikų evoliuciją.VagiamCollapse )

 
 
 
Medeišio fanklubas
17 January 2017 @ 12:40 am

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Kuo užsiims NASA prie naujo JAV prezidento? Kada ir kaip susiformavo Mėnulis? Kiek energingų fotonų pabėga iš savo galaktikų? Atsakymai į šiuos ir kitus klausimus - Kąsnelyje. Kaip visada, skaitykite po kirpsniuku.TikrinamCollapse )

 
 
Medeišio fanklubas
17 January 2017 @ 12:40 am

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Kuo užsiims NASA prie naujo JAV prezidento? Kada ir kaip susiformavo Mėnulis? Kiek energingų fotonų pabėga iš savo galaktikų? Atsakymai į šiuos ir kitus klausimus - Kąsnelyje. Kaip visada, skaitykite po kirpsniuku.TikrinamCollapse )

 
 
Medeišio fanklubas

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Nors mokslo populiarinimo konkursas jau baigėsi, jam buvo atsiųstas dar vienas darbas. Tiksliau - darbų ciklas. Darbų autorius - VU Matematikos ir informatikos instituto profesorius Leonidas Sakalauskas. Jis rašo apie garsųjį matematiką Pierre Fermat bei jo atradimus. Skaitykite tekstą žemiau.

Matematikos mėgėjų kunigaiščio iššūkis keliems šimtmečiams

Leonidas Sakalauskas, VU Matematikos ir informatikos institutas

Didžiosios Ferma teoremos istorija yra unikali. Joje susipynė mirtis ir apgavystė, dėl jos vieni kovėsi dvikovoje, kiti nusivylę rasti įrodymą, baigdavo savo gyvenimą savižudybe. Už jos įrodymą buvo siūlomos premijos, dėl kurių varžėsi didžiausi protai. Šiame straipsnelyje papasakosime, kaip gimė šis matematikos trileris, užtrukęs kelis šimtmečius.

Pjeras de Ferma (1601-1665) ir Diofanto „Aritmetikos“ leidinys, kurio paraštėse jis rašė pastabas
Pjeras de Ferma (1601-1665) ir Diofanto „Aritmetikos“ leidinys, kurio paraštėse jis rašė pastabas

Mėgėjų kunigaikščio iššūkiai

Pjeras de Ferma pradėjo teisininko karjerą 1631 metais Prancūzijoje, Tulūzos parlamente patarėju. Jis neturėjo didelių politinių ambicijų ir todėl stengėsi veiksmingai atlikti savo pareigas, neatkreipdamas į save didelio dėmesio bei vengdamas netvarkos ar grubumo parlamente. Amžininkai jį apibūdindavo kaip sąžiningą, kruopštų, ramų ir malonų žmogų, turintį puikų matematinį bei humanitarinį išsilavinimą, daugelio senųjų ir gyvųjų kalbų žinovą, rašiusį nuostabias eiles. Visą savo energiją ir laisvą laiką, likdavusį nuo tarnybos, ponas Ferma skirdavo loginiams galvosūkiams spręsti, ir, kai jam nereikėjo posėdžiauti, pasiunčiant dar vieną nusidėjėlį ant laužo ar ešafoto, jis pasinerdavo į savo mėgstamą užsiėmimą. Nors Ferma nerašė jokių knygų, o tik laiškus draugams ar į galvą atėjusias geras mintis, palaipsniui jis tapo vienu iš labiausiai pripažintų Prancūzijos matematikų. Pagrindinis jo įkvėpimo šaltinis buvo 1621 metais išleistas lotyniškas Diofanto vadovėlio „Aritmetika“ vertimas. Spręsdamas Diofanto lygtis, o paskui pats pradėjęs kurti uždavinius bei teoremas, Ferma užsirašydavo tik pačius būtiniausius dalykus, reikalingus įsitikinti sprendimo teisingumu, ir nesivargindavo kur nors užrašyti likusį įrodymą. Dažniausiai paskubom padaryti užrašai keliaudavo tiesiai į šiukšlių dėžę, o Ferma ramiausiai pereidavo prie kito uždavinio. Laimei, jo turimas „Aritmetikos“ vertimas turėjo plačias paraštes, ir Ferma dažnai užrašydavo savo mintis ir komentarus jose. Pastabos paraštėse ir laiškai, parašyti kitiems to meto mokslininkams, tapo neįkainojamais, nors ir labai skurdžiais, ryškiausių Ferma skaičiavimų ir atradimų įrodymais. Ferma buvo tyrinėtojas mėgėjas, matematika nebuvo jo profesija, tad žinomas mokslo populiarintojas Erikas T. Belas, parašęs daugelio žymių matematikų biografijas, jį pakrikštijo „Mėgėjų kunigaikščiu“. Publikacijos ir pripažinimas jam nieko nereiškė, ir jis jautėsi laimingas, galėdamas netrikdomai atsiduoti savo aistrai įrodinėti ir kurti naujas teoremas. Ferma buvo geras šelmis ir, susisiekdamas su kitais matematikais, erzindavo juos savo paslaptingumu. Laiškuose išdėstęs savo naujausias teoremas ir nepateikęs jokių įrodymų, jis tarsi mesdavo iššūkį kitiems. Tai, jog jis niekada neatskleisdavo savo įrodymų, sukeldavo didelį nusivylimą. Rene Dekartas pavadino Ferma pagyrūnu, o anglų matematikas Džonas Valis vadindavo jį „tas prakeiktas prancūzas“. Kartą Ferma nustatė, kad skaičius 26 yra vienintelis, iš kurio atėmus 1, gausime kvadratą, o pridėjus 1 – kubą (iš tikrųjų, 26 - 1=5^2, 26 + 1=3^3), ir metė iššūkį matematikų bendrijai, siūlydamas tai įrodyti. Nepaisant uždavinio formuluotės paprastumo, jo sprendimas buvo gana sudėtingas, ir Ferma mėgavosi, šaipydamasis iš anglų matematikų D. Valio ir K. Digbio, kurie galų gale buvo priversti prisipažinti pralaimėję, nes nesugebėjo įveikti šio uždavinio.

Laimei, vyriausiasis Ferma sūnus, Klementas-Samiuelis, suvokęs visą didžiausios tėvo aistros reikšmę, nusprendė, jog jo atradimai neturėtų pradingti. Penkerius metus Klementas-Samiuelis rinko bei tyrė neaiškius tėvo užrašus bei pastabas „Aritmetikos“ paraštėse, ir atliko nepaprastai sudėtingą ir atsakingą darbą, 1670 metais Tulūzoje išleidęs knygą „Diofanto Aritmetika su p. de Ferma pastabomis“. Kai Ferma „pastabos“ tapo žinomos platesniam mokslininkų ratui, visi suprato, kad laiškai, kuriuos jis siųsdavo savo kolegoms, buvo tik trumpos ištraukos iš pasakiško atradimų lobyno. Tarp užrašytų Ferma ranka pastabų buvo gausu naujų teoremų, užrašytų visiškai be paaiškinimų, arba turėjusių tik nedidelę įrodymų santrauką, kurioje būdavo pateikiama tik keletą loginių žingsnių, leidžiančių suprasti, jog Ferma žinojo įrodymo seka.

[Error: Irreparable invalid markup ('<img [...] q^{1/2}">') in entry. Owner must fix manually. Raw contents below.]

<p><small>Originally published at <a href="http://www.konstanta.lt/2017/01/matematikos-megeju-kunigaiscio-issukis-keliems-simtmeciams/">Konstanta-42</a>. Please leave any <a href="http://www.konstanta.lt/2017/01/matematikos-megeju-kunigaiscio-issukis-keliems-simtmeciams/#comments">comments</a> there.</small></p><p>Nors mokslo populiarinimo konkursas jau baigėsi, jam buvo atsiųstas dar vienas darbas. Tiksliau - darbų ciklas. Darbų autorius - VU Matematikos ir informatikos instituto profesorius Leonidas Sakalauskas. Jis rašo apie garsųjį matematiką Pierre Fermat bei jo atradimus. Skaitykite tekstą žemiau.</p> <p align="CENTER"><strong>Matematikos mėgėjų kunigaiščio iššūkis keliems šimtmečiams</strong></p> <p style="text-align: right;" align="CENTER">Leonidas Sakalauskas, VU Matematikos ir informatikos institutas</p> <p>Didžiosios Ferma teoremos istorija yra unikali. Joje susipynė mirtis ir apgavystė, dėl jos vieni kovėsi dvikovoje, kiti nusivylę rasti įrodymą, baigdavo savo gyvenimą savižudybe. Už jos įrodymą buvo siūlomos premijos, dėl kurių varžėsi didžiausi protai. Šiame straipsnelyje papasakosime, kaip gimė šis matematikos trileris, užtrukęs kelis šimtmečius.</p> <div> <dl id="attachment_2906"> <dt> <figure style="width: 643px" class="wp-caption aligncenter"><a href="http://www.konstanta.lt/wp-content/uploads/2017/01/Leonidas_Sakalauskas_1_1.png" rel="attachment wp-att-2906"><img src="http://www.konstanta.lt/wp-content/uploads/2017/01/Leonidas_Sakalauskas_1_1.png" alt="Pjeras de Ferma (1601-1665) ir Diofanto „Aritmetikos“ leidinys, kurio paraštėse jis rašė pastabas" width="643" height="431" /></a><figcaption class="wp-caption-text">Pjeras de Ferma (1601-1665) ir Diofanto „Aritmetikos“ leidinys, kurio paraštėse jis rašė pastabas</figcaption></figure> </dt> <dd></dd> </dl> </div> <p><strong>Mėgėjų kunigaikščio iššūkiai </strong></p> <p>Pjeras de Ferma pradėjo teisininko karjerą 1631 metais Prancūzijoje, Tulūzos parlamente patarėju. J<span lang="lt-LT">is neturėjo didelių politinių ambicijų ir todėl stengėsi veiksmingai atlikti savo pareigas, neatkreipdamas į save didelio dėmesio bei vengdamas netvarkos ar grubumo parlamente. </span><span lang="lt-LT">Amžininkai jį apibūdindavo kaip sąžiningą, kruopštų, ramų ir malonų žmogų, turintį puikų matematinį bei humanitarinį išsilavinimą, daugelio senųjų ir gyvųjų kalbų žinovą, rašiusį nuostabias eiles. </span><span lang="lt-LT">Visą savo energiją ir laisvą laiką, likdavusį nuo tarnybos, ponas Ferma skirdavo loginiams galvosūkiams spręsti, ir, kai jam nereikėjo posėdžiauti, pasiunčiant dar vieną nusidėjėlį ant laužo ar ešafoto, jis pasinerdavo į savo mėgstamą užsiėmimą. Nors Ferma nerašė jokių knygų, o tik laiškus draugams ar į galvą atėjusias geras mintis, palaipsniui jis tapo vienu iš labiausiai pripažintų Prancūzijos matematikų. Pagrindinis jo įkvėpimo šaltinis buvo 1621 metais išleistas lotyniškas Diofanto vadovėlio „Aritmetika“ vertimas. Spręsdamas Diofanto lygtis, o paskui pats pradėjęs kurti uždavinius bei teoremas, Ferma užsirašydavo tik pačius būtiniausius dalykus, reikalingus įsitikinti sprendimo teisingumu, ir nesivargindavo kur nors užrašyti likusį įrodymą. Dažniausiai paskubom padaryti užrašai keliaudavo tiesiai į šiukšlių dėžę, o Ferma ramiausiai pereidavo prie kito uždavinio. Laimei, jo turimas „Aritmetikos“ vertimas turėjo plačias paraštes, ir Ferma dažnai užrašydavo savo mintis ir komentarus jose. Pastabos paraštėse ir laiškai, parašyti kitiems to meto mokslininkams, tapo neįkainojamais, nors ir labai skurdžiais, ryškiausių Ferma skaičiavimų ir atradimų įrodymais. Ferma buvo tyrinėtojas mėgėjas, matematika nebuvo jo profesija, tad žinomas mokslo populiarintojas Erikas T. Belas, parašęs daugelio žymių matematikų biografijas, jį pakrikštijo „Mėgėjų kunigaikščiu“. Publikacijos ir pripažinimas jam nieko nereiškė, ir jis jautėsi laimingas, galėdamas netrikdomai atsiduoti savo aistrai įrodinėti ir kurti naujas teoremas. Ferma buvo geras šelmis ir, susisiekdamas su kitais matematikais, erzindavo juos savo paslaptingumu. Laiškuose išdėstęs savo naujausias teoremas ir nepateikęs jokių įrodymų, jis tarsi mesdavo iššūkį kitiems. Tai, jog jis niekada neatskleisdavo savo įrodymų, sukeldavo didelį nusivylimą. Rene Dekartas pavadino Ferma pagyrūnu, o anglų matematikas Džonas Valis vadindavo jį „tas prakeiktas prancūzas“. Kartą Ferma nustatė, kad skaičius 26 yra vienintelis, iš kurio atėmus 1, gausime kvadratą, o pridėjus 1 – kubą (iš tikrųjų, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_4e834ef3514d81c748574a8fb52cc31f.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="26 - 1=5^2" /></span><script type='math/tex'>26 - 1=5^2</script>, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_8904b36781eb66ab82cf6407c379bda6.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="26 + 1=3^3" /></span><script type='math/tex'>26 + 1=3^3</script>), ir metė iššūkį matematikų bendrijai, siūlydamas tai įrodyti. Nepaisant uždavinio formuluotės paprastumo, jo sprendimas buvo gana sudėtingas, ir Ferma mėgavosi, šaipydamasis iš anglų matematikų D. Valio ir K. Digbio, kurie galų gale buvo priversti prisipažinti pralaimėję, nes nesugebėjo įveikti šio uždavinio.</span></p> <p>Laimei, vyriausiasis Ferma sūnus, Klementas-Samiuelis, suvokęs visą didžiausios tėvo aistros reikšmę, nusprendė, jog jo atradimai neturėtų pradingti. Penkerius metus Klementas-Samiuelis rinko bei tyrė neaiškius tėvo užrašus bei pastabas „Aritmetikos“ paraštėse, ir atliko nepaprastai sudėtingą ir atsakingą darbą, 1670 metais Tulūzoje išleidęs knygą „Diofanto Aritmetika su p. de Ferma pastabomis“. Kai Ferma „pastabos“ tapo žinomos platesniam mokslininkų ratui, visi suprato, kad laiškai, kuriuos jis siųsdavo savo kolegoms, buvo tik trumpos ištraukos iš pasakiško atradimų lobyno. Tarp užrašytų Ferma ranka pastabų buvo gausu naujų teoremų, užrašytų visiškai be paaiškinimų, arba turėjusių tik nedidelę įrodymų santrauką, kurioje būdavo pateikiama tik keletą loginių žingsnių, leidžiančių suprasti, jog Ferma žinojo įrodymo seka.</p> <div> <dl id="attachment_2907"> <dt> <figure style="width: 810px" class="wp-caption aligncenter"><a href="http://www.konstanta.lt/wp-content/uploads/2017/01/Leonidas_Sakalauskas_1_2.png" rel="attachment wp-att-2907"><img src="http://www.konstanta.lt/wp-content/uploads/2017/01/Leonidas_Sakalauskas_1_2-1024x299.png" alt="Ferma spiralė, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_ad774a2e0cd9107d7243c9b1043bb474.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="r=\pm q^{1/2}" /></span><script type='math/tex'>r=\pm q^{1/2}</script>, r – spiralės taško atstumas nuo centro, q – jo posūkio nuo horizontalios ašies kampas" width="810" height="237" /></a><figcaption class="wp-caption-text">1 pav. Ferma spiralė, r=+- q^1/2, r – spiralės taško atstumas nuo centro, q – jo posūkio nuo horizontalios ašies kampas</figcaption></figure> </dt> <dd></dd> </dl> </div> <p>Čia vertėtų prisiminti, jog Ferma gyveno ir kūrė baigiantis vėlyvojo Renesanso epochai, kai Europoje suklestėjo baroko architektūra, menai ir knygų leidyba. Tą laikmetį geriausiai apibūdina posakis, jog trys gražiausi pasaulyje dalykai yra šokanti moteris, šuoliuojantis žirgas ir išskleistomis burėmis plaukiantis laivas. Kultūros klestėjimą lydėjo spartus pramonės ir prekybos vystymasis, nulėmęs daugelio mokslų atsiradimą ir raidą. <span lang="lt-LT">Nors Pjeras de Ferma domėjosi, iš pirmo žvilgsnio, nereikšmingais galvosūkiais, jo įžvalgų galima atrasti daugelio mokslų, pradėjusių savo plėtotę tuo metu, ištakose, ir nemažai jų pasiekė net mūsų laikus. 1636 m. Ferma atrado spiralę, vėliau pavadintą jo vardu, kurią, pasirodo, galima pritaikyti saulėgrąžos, ramunių ar kitų astrinių (graižažiedžių) augalų žiedynams aprašyti (1 pav.), bet ne tik tuo tikslu. Dabar randama būdų, kaip šią spiralę būtų galima pritaikyti kompiuterių grafikoje arba išdėstyti jos elementus saulės elektrinių veidrodžiuose, ir pan. O vyresniųjų klasių moksleiviams mokyklose dažnai tenka spręsti uždavinius, taikant minimumo arba maksimumo sąlygą, kurią pirmasis nustatė Ferma. Nepriklausomai nuo Dekarto jis pradėjo algebrines išraiškas vaizduoti geometriškai, t.y., sukūrė analitinės geometrijos pradmenis. Jis mokėjo anksčiau už Izaoką Niutoną taikyti diferencijavimo ir integravimo metodus sudėtingų figūrų plotams apskaičiuoti arba išvesti liestinėms. Beje, I. Niutonas minėjo, kad, būtent, pažintis su Ferma darbais jį paskatino sukurti diferencialinį ir integralinį skaičiavimą. Kartu su Paskaliu Ferma gali būti laikomas tikimybių teorijos pradininku. Ferma vardu pavadintas pagrindinis geometrinės optikos dėsnis, pagal kurį šviesa sklinda tokiu keliu nevienalytėje terpėje, kuriam reikia trumpiausio laiko ir t. t.</span></p> <p>Tačiau didžiausių nuopelnų Ferma pasiekė skaičių teorijoje. Ferma atrado, jei a nesidalija iš p ir p yra pirminis, tai (<span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_02c9e9fbfdf9808ca92e2699d0620080.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="a^{p-1} - 1" /></span><script type='math/tex'>a^{p-1} - 1</script>) dalijasi iš p. Pavyzdžiui, tegul a=2, p=7. Skaičius 7 yra, be abejo, pirminis. Taigi, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_3a8915de5d1781d75e0fa02bf36d8320.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="a^{p-1} - 1 = 2^{7-1} - 1 = 63 = 7 \cdot 9" /></span><script type='math/tex'>a^{p-1} - 1 = 2^{7-1} - 1 = 63 = 7 \cdot 9</script>.</p> <p>Šis rezultatas, pavadintas Mažąja Ferma teorema, turi labai daug apibendrinimų bei pritaikymų. Skaitytojams siūlome priimti Mėgėjų kunigaikščio iššūkį ir pabandyti šią teoremą įrodyti patiems. Tie, kam pritrūks kantrybės, gali rasti įrodymą straipsnelio pabaigoje.</p> <p>Ferma taip pat teigė, jog bet kurį pirminį skaičių, kuris dalijasi iš 4 su liekana 1, galima išreikšti dviejų kvadratų suma, ir tik vieninteliu būdu, o besidalijantį iš 4 su liekana 3, taip išreikšti jau nebegalima. Ir iš tikrųjų: <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_396a136ca655294787e9a18546e392ca.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="5=2^2 + 1^2" /></span><script type='math/tex'>5=2^2 + 1^2</script>; <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_1f0d630d7aab8d978be137d733783bf3.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="13=3^2+2^2" /></span><script type='math/tex'>13=3^2+2^2</script>, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_d7a875e71604f4f41584e67e6fb9644c.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="17= 4^2 + 1^2" /></span><script type='math/tex'>17= 4^2 + 1^2</script>, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_3bde5c71067f2d0732e27d1598d0e3f1.gif' style='vertical-align: middle; border: none; padding-bottom:2px;' class='tex' alt="\dots" /></span><script type='math/tex'>\dots</script> , o <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_2d913e60b3dd5fa08be63362560369af.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="23 = 4\cdot5 + 3" /></span><script type='math/tex'>23 = 4\cdot5 + 3</script> šitaip išreikšti jau nebeįmanoma. Vienas žymiausių visų laikų matematikų, šveicaras Leonardas Euleris, daug metų dirbęs Sankt Peterburge, sugaišo 7 metus, kol įrodė šią Ferma hipotezę, kurią pats Ferma įrodinėjo jo atrastu “nusileidimo metodu”. Ferma taip pat sukūrė skaičiaus daliklių sistemingo radimo būdą, atrado, jog bet kurį sveikąjį skaičių galima išreikšti ne daugiau nei keturių kvadratų suma bei daugybė kitų atradimų, kurie aplenkė savo laikmetį, buvo pamiršti ir po ilgo laiko vėl atrasti.</p> <p>1989 m. Tulūzos universitetas įsteigė Ferma premiją (20 000 Eur), kuri kas dveji metai įteikiama už reikšmingus tyrimus mokslo srityse, prie kurių ištakų jis prisidėjo. Viso jau įteikta 14 premijų.</p> <p><strong>Matematikos trilerio pradžia</strong></p> <p>O didžiausios šlovės sulaukė Ferma iššūkis, kurį jis metė visam pasauliui. Tikriausiai, daugelis skaitytojų iš vidurinės mokyklos matematikos pamokų dar prisimena Pitagoro teoremą, tvirtinančią, jog stataus trikampio statinių kvadratų suma yra lygi įstrižainės kvadratui? Sprendiniai, kuriuos galima išreikšti sveikais skaičiais, yra įdomiausi, pvz., jei stačiakampio kambario sienų ilgiai yra atitinkamai 3m ir 4m, tai nesunku įsitikinti, jog atstumas tarp tolimiausių kambario kampų bus 5m, nes <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_cee2f7da80b8bed0fb6a32465ed8978a.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="9 + 16 = 25" /></span><script type='math/tex'>9 + 16 = 25</script>, t.y., <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_b296e6b49ff070377fbf9fedc5929ab4.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="3^2 + 4^2 = 5^2" /></span><script type='math/tex'>3^2 + 4^2 = 5^2</script>. Taigi, perrašinėdamas įvairiais būdais Pitagoro lygtį, Ferma mėgino pastebėti kažką tokio, ko nepastebėjo kiti. Staiga jam kilo geniali mintis, kuri padarė Mėgėjų kunigaikščio vardą nemirtingą.</p> <p>Ferma sugalvojo lygtį, labai panašią į Pitagoro:</p> <p align="CENTER"><span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_ba5af5de44ecd6964b3f80b676045a2a.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="x^n + y^n = z^n" /></span><script type='math/tex'>x^n + y^n = z^n</script>,</p> <p>kuri, jo nuomone, neturi nė vieno sveikaskaičio sprendinio! Diofanto „Aritmetikos“ paraštėse Ferma 1637 m. paliko tokį pastebėjimą: „Neįmanoma kubo užrašyti dviejų kubų suma, arba ketvirtą laipsnį užrašyti ketvirtų laipsnių suma, arba, bendrai bet kuriam skaičiui, kuris yra aukštesnio laipsnio, nei antras, būti užrašytam dviejų to paties laipsnio skaičių suma. Aš radau iš tiesų nuostabų šio teiginio įrodymą, bet paraštės čia per siauros jam sutalpinti.“ Ir tame visas Ferma! Nors jis niekam neatskleidė savo įrodymo, garsas apie Didžiąją Ferma teoremą, kaip ji vėliau buvo pradėta vadinti, pasklido labai plačiai.</p> <p>Per dešimtmečius ir šimtmečius, praėjusius po knygos su Ferma pastabomis išleidimo, viena po kitos buvo patikrintos arba įrodytos visos Ferma pastabos, užrašytos Diofanto „Aritmetikos“ paraštėse, bet pastangos įrodyti Didžiąją Ferma teoremą likdavo bergždžios, nors spręsti šį uždavinį ėmėsi daugelis profesionalių matematikų ir matematikos mėgėjų. Apie šio matematikos trilerio peripetijas pakalbėsime kitąkart, nes viename straipsnelyje jas nėra paprasta išguldyti.</p> <p><strong>Mažosios Ferma teoremos įrodymas</strong></p> <p>Įrodysime prieštaros būdu, kad jei <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_b5569b7982357230d5fa7b02ee8ead86.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="a^{p-1}" /></span><script type='math/tex'>a^{p-1}</script> nesidalija iš p, tai padalijus visus sekos <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_8fb7dd4585e68c3b54875b137b19d6af.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="1\cdot a, 2\cdot a, 3\cdot a, \ldots, (p-1) \cdot a" /></span><script type='math/tex'>1\cdot a, 2\cdot a, 3\cdot a, \ldots, (p-1) \cdot a</script> narius iš p, liekanos irgi bus skirtingos. Iš tikrųjų, sakykime, tegul pavyktų rasti du skirtingus šios sekos narius, besidalijančius iš p su vienodomis liekanomis. Tuomet šių skaičių skirtumas, be abejo, turi dalintis iš p, nes liekanos juk vienodos. Kita vertus, kadangi visi sekos nariai dalijasi iš a, bet kurių skirtingų šios sekos narių skirtumas turi dalintis iš a taip pat. Kadangi skaičius a nesidalija iš p pagal padarytą prielaidą, minėtas skirtumas turi dalintis iš sandaugos a∙p. Kita vertus, skirtingų sekos skaičių skirtumas yra nelygus nuliui, tad jo mažiausia galima reikšmė yra a∙p. Tačiau nagrinėjamoje sekoje visi skaičiai mažesni už a∙p, tad ir jų skirtumas turi būti mažesnis (absoliutiniu didumu) už šį skaičių. Gavome prieštaravimą, nes padalinti skaičių iš didesniojo ir gauti sveiką dalmenį yra neįmanoma. Taigi, įrodėme, jog dalijant aukščiau minėtos sekos narius iš p, bus gautos skirtingos liekanos. Tad liekanos, kurių iš viso yra (p - 1), turi būti skirtingos ir mažesnės už p. Tai įmanoma tik tokiu atveju, kai liekanų aibę sudaro visi skaičiai nuo 1 iki p – 1.<br /> Pažymėkime, kaip įprasta matematikoje, visų skaičių nuo 1 iki p-1 sandaugą per <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_578419a964d1ce4260dc1a21d8cd3159.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt=" (p - 1)! " /></span><script type='math/tex'> (p - 1)! </script>, t.y. <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_cc9910b40bf389056aba25019ca0f43a.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt=" 1\cdot 2\cdot 3 \ldots\cdot (p - 1) =(p - 1)! " /></span><script type='math/tex'> 1\cdot 2\cdot 3 \ldots\cdot (p - 1) =(p - 1)! </script>. Dabar sudauginkime visus nagrinėjamos sekos narius ir gautą sandaugą užrašykime tokiu būdu:</p> <p align="CENTER"><span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_306cb02ec42106c5a5c7acd3423052d8.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="1\cdot a\cdot 2\cdot a\cdot 3\cdot a\cdot \ldots \cdot (p - 1) \cdot a=(p - 1)! \cdot a^{p-1}" /></span><script type='math/tex'>1\cdot a\cdot 2\cdot a\cdot 3\cdot a\cdot \ldots \cdot (p - 1) \cdot a=(p - 1)! \cdot a^{p-1}</script>.</p> <p>Kadangi nė vienas šios sandaugos dauginamasis nesidalija iš p, iš p nesidalija ir visa sandauga. Nesunku pastebėti, jog šią sandaugą padalijus iš p, gauta liekana sutaps su visų dauginamųjų liekanų sandaugos liekana. O ką tik įrodėme, jog ši dauginamųjų liekanų sandauga sutaps su visų skirtingų skaičių nuo 1 iki p-1 sandauga, t.y., <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_578419a964d1ce4260dc1a21d8cd3159.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt=" (p - 1)! " /></span><script type='math/tex'> (p - 1)! </script> Taigi, gausime, kad <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_0cff569ed83043235f102281dfca92b7.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt=" (p - 1)! \cdot a^{p-1} " /></span><script type='math/tex'> (p - 1)! \cdot a^{p-1} </script> ir <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_578419a964d1ce4260dc1a21d8cd3159.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt=" (p - 1)! " /></span><script type='math/tex'> (p - 1)! </script> , dalijant iš p, turi tą pačią liekaną. Iš čia seka, kad skirtumas <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_4fa52f53483f61d733a651d7f83ae739.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt=" (p - 1)! \cdot a^{p-1} - (p - 1)! " /></span><script type='math/tex'> (p - 1)! \cdot a^{p-1} - (p - 1)! </script> turi dalintis iš p. Pastarąją išraišką suprastinę iš nesidalijančio iš p skaičiaus <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_578419a964d1ce4260dc1a21d8cd3159.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt=" (p - 1)! " /></span><script type='math/tex'> (p - 1)! </script> (juk p pirminis!), gauname, jog <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_02c9e9fbfdf9808ca92e2699d0620080.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="a^{p-1} - 1" /></span><script type='math/tex'>a^{p-1} - 1</script> turi dalintis iš p, ką ir reikėjo įrodyti.</p>
 
 
Medeišio fanklubas

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Nors mokslo populiarinimo konkursas jau baigėsi, jam buvo atsiųstas dar vienas darbas. Tiksliau - darbų ciklas. Darbų autorius - VU Matematikos ir informatikos instituto profesorius Leonidas Sakalauskas. Jis rašo apie garsųjį matematiką Pierre Fermat bei jo atradimus. Skaitykite tekstą žemiau.

Matematikos mėgėjų kunigaiščio iššūkis keliems šimtmečiams

Leonidas Sakalauskas, VU Matematikos ir informatikos institutas

Didžiosios Ferma teoremos istorija yra unikali. Joje susipynė mirtis ir apgavystė, dėl jos vieni kovėsi dvikovoje, kiti nusivylę rasti įrodymą, baigdavo savo gyvenimą savižudybe. Už jos įrodymą buvo siūlomos premijos, dėl kurių varžėsi didžiausi protai. Šiame straipsnelyje papasakosime, kaip gimė šis matematikos trileris, užtrukęs kelis šimtmečius.

Pjeras de Ferma (1601-1665) ir Diofanto „Aritmetikos“ leidinys, kurio paraštėse jis rašė pastabas
Pjeras de Ferma (1601-1665) ir Diofanto „Aritmetikos“ leidinys, kurio paraštėse jis rašė pastabas

Mėgėjų kunigaikščio iššūkiai

Pjeras de Ferma pradėjo teisininko karjerą 1631 metais Prancūzijoje, Tulūzos parlamente patarėju. Jis neturėjo didelių politinių ambicijų ir todėl stengėsi veiksmingai atlikti savo pareigas, neatkreipdamas į save didelio dėmesio bei vengdamas netvarkos ar grubumo parlamente. Amžininkai jį apibūdindavo kaip sąžiningą, kruopštų, ramų ir malonų žmogų, turintį puikų matematinį bei humanitarinį išsilavinimą, daugelio senųjų ir gyvųjų kalbų žinovą, rašiusį nuostabias eiles. Visą savo energiją ir laisvą laiką, likdavusį nuo tarnybos, ponas Ferma skirdavo loginiams galvosūkiams spręsti, ir, kai jam nereikėjo posėdžiauti, pasiunčiant dar vieną nusidėjėlį ant laužo ar ešafoto, jis pasinerdavo į savo mėgstamą užsiėmimą. Nors Ferma nerašė jokių knygų, o tik laiškus draugams ar į galvą atėjusias geras mintis, palaipsniui jis tapo vienu iš labiausiai pripažintų Prancūzijos matematikų. Pagrindinis jo įkvėpimo šaltinis buvo 1621 metais išleistas lotyniškas Diofanto vadovėlio „Aritmetika“ vertimas. Spręsdamas Diofanto lygtis, o paskui pats pradėjęs kurti uždavinius bei teoremas, Ferma užsirašydavo tik pačius būtiniausius dalykus, reikalingus įsitikinti sprendimo teisingumu, ir nesivargindavo kur nors užrašyti likusį įrodymą. Dažniausiai paskubom padaryti užrašai keliaudavo tiesiai į šiukšlių dėžę, o Ferma ramiausiai pereidavo prie kito uždavinio. Laimei, jo turimas „Aritmetikos“ vertimas turėjo plačias paraštes, ir Ferma dažnai užrašydavo savo mintis ir komentarus jose. Pastabos paraštėse ir laiškai, parašyti kitiems to meto mokslininkams, tapo neįkainojamais, nors ir labai skurdžiais, ryškiausių Ferma skaičiavimų ir atradimų įrodymais. Ferma buvo tyrinėtojas mėgėjas, matematika nebuvo jo profesija, tad žinomas mokslo populiarintojas Erikas T. Belas, parašęs daugelio žymių matematikų biografijas, jį pakrikštijo „Mėgėjų kunigaikščiu“. Publikacijos ir pripažinimas jam nieko nereiškė, ir jis jautėsi laimingas, galėdamas netrikdomai atsiduoti savo aistrai įrodinėti ir kurti naujas teoremas. Ferma buvo geras šelmis ir, susisiekdamas su kitais matematikais, erzindavo juos savo paslaptingumu. Laiškuose išdėstęs savo naujausias teoremas ir nepateikęs jokių įrodymų, jis tarsi mesdavo iššūkį kitiems. Tai, jog jis niekada neatskleisdavo savo įrodymų, sukeldavo didelį nusivylimą. Rene Dekartas pavadino Ferma pagyrūnu, o anglų matematikas Džonas Valis vadindavo jį „tas prakeiktas prancūzas“. Kartą Ferma nustatė, kad skaičius 26 yra vienintelis, iš kurio atėmus 1, gausime kvadratą, o pridėjus 1 – kubą (iš tikrųjų, 26 - 1=5^2, 26 + 1=3^3), ir metė iššūkį matematikų bendrijai, siūlydamas tai įrodyti. Nepaisant uždavinio formuluotės paprastumo, jo sprendimas buvo gana sudėtingas, ir Ferma mėgavosi, šaipydamasis iš anglų matematikų D. Valio ir K. Digbio, kurie galų gale buvo priversti prisipažinti pralaimėję, nes nesugebėjo įveikti šio uždavinio.

Laimei, vyriausiasis Ferma sūnus, Klementas-Samiuelis, suvokęs visą didžiausios tėvo aistros reikšmę, nusprendė, jog jo atradimai neturėtų pradingti. Penkerius metus Klementas-Samiuelis rinko bei tyrė neaiškius tėvo užrašus bei pastabas „Aritmetikos“ paraštėse, ir atliko nepaprastai sudėtingą ir atsakingą darbą, 1670 metais Tulūzoje išleidęs knygą „Diofanto Aritmetika su p. de Ferma pastabomis“. Kai Ferma „pastabos“ tapo žinomos platesniam mokslininkų ratui, visi suprato, kad laiškai, kuriuos jis siųsdavo savo kolegoms, buvo tik trumpos ištraukos iš pasakiško atradimų lobyno. Tarp užrašytų Ferma ranka pastabų buvo gausu naujų teoremų, užrašytų visiškai be paaiškinimų, arba turėjusių tik nedidelę įrodymų santrauką, kurioje būdavo pateikiama tik keletą loginių žingsnių, leidžiančių suprasti, jog Ferma žinojo įrodymo seka.

[Error: Irreparable invalid markup ('<img [...] q^{1/2}">') in entry. Owner must fix manually. Raw contents below.]

<p><small>Originally published at <a href="http://www.konstanta.lt/2017/01/matematikos-megeju-kunigaiscio-issukis-keliems-simtmeciams/">Konstanta-42</a>. Please leave any <a href="http://www.konstanta.lt/2017/01/matematikos-megeju-kunigaiscio-issukis-keliems-simtmeciams/#comments">comments</a> there.</small></p><p>Nors mokslo populiarinimo konkursas jau baigėsi, jam buvo atsiųstas dar vienas darbas. Tiksliau - darbų ciklas. Darbų autorius - VU Matematikos ir informatikos instituto profesorius Leonidas Sakalauskas. Jis rašo apie garsųjį matematiką Pierre Fermat bei jo atradimus. Skaitykite tekstą žemiau.</p> <p align="CENTER"><strong>Matematikos mėgėjų kunigaiščio iššūkis keliems šimtmečiams</strong></p> <p style="text-align: right;" align="CENTER">Leonidas Sakalauskas, VU Matematikos ir informatikos institutas</p> <p>Didžiosios Ferma teoremos istorija yra unikali. Joje susipynė mirtis ir apgavystė, dėl jos vieni kovėsi dvikovoje, kiti nusivylę rasti įrodymą, baigdavo savo gyvenimą savižudybe. Už jos įrodymą buvo siūlomos premijos, dėl kurių varžėsi didžiausi protai. Šiame straipsnelyje papasakosime, kaip gimė šis matematikos trileris, užtrukęs kelis šimtmečius.</p> <div> <dl id="attachment_2906"> <dt> <figure style="width: 643px" class="wp-caption aligncenter"><a href="http://www.konstanta.lt/wp-content/uploads/2017/01/Leonidas_Sakalauskas_1_1.png" rel="attachment wp-att-2906"><img src="http://www.konstanta.lt/wp-content/uploads/2017/01/Leonidas_Sakalauskas_1_1.png" alt="Pjeras de Ferma (1601-1665) ir Diofanto „Aritmetikos“ leidinys, kurio paraštėse jis rašė pastabas" width="643" height="431" /></a><figcaption class="wp-caption-text">Pjeras de Ferma (1601-1665) ir Diofanto „Aritmetikos“ leidinys, kurio paraštėse jis rašė pastabas</figcaption></figure> </dt> <dd></dd> </dl> </div> <p><strong>Mėgėjų kunigaikščio iššūkiai </strong></p> <p>Pjeras de Ferma pradėjo teisininko karjerą 1631 metais Prancūzijoje, Tulūzos parlamente patarėju. J<span lang="lt-LT">is neturėjo didelių politinių ambicijų ir todėl stengėsi veiksmingai atlikti savo pareigas, neatkreipdamas į save didelio dėmesio bei vengdamas netvarkos ar grubumo parlamente. </span><span lang="lt-LT">Amžininkai jį apibūdindavo kaip sąžiningą, kruopštų, ramų ir malonų žmogų, turintį puikų matematinį bei humanitarinį išsilavinimą, daugelio senųjų ir gyvųjų kalbų žinovą, rašiusį nuostabias eiles. </span><span lang="lt-LT">Visą savo energiją ir laisvą laiką, likdavusį nuo tarnybos, ponas Ferma skirdavo loginiams galvosūkiams spręsti, ir, kai jam nereikėjo posėdžiauti, pasiunčiant dar vieną nusidėjėlį ant laužo ar ešafoto, jis pasinerdavo į savo mėgstamą užsiėmimą. Nors Ferma nerašė jokių knygų, o tik laiškus draugams ar į galvą atėjusias geras mintis, palaipsniui jis tapo vienu iš labiausiai pripažintų Prancūzijos matematikų. Pagrindinis jo įkvėpimo šaltinis buvo 1621 metais išleistas lotyniškas Diofanto vadovėlio „Aritmetika“ vertimas. Spręsdamas Diofanto lygtis, o paskui pats pradėjęs kurti uždavinius bei teoremas, Ferma užsirašydavo tik pačius būtiniausius dalykus, reikalingus įsitikinti sprendimo teisingumu, ir nesivargindavo kur nors užrašyti likusį įrodymą. Dažniausiai paskubom padaryti užrašai keliaudavo tiesiai į šiukšlių dėžę, o Ferma ramiausiai pereidavo prie kito uždavinio. Laimei, jo turimas „Aritmetikos“ vertimas turėjo plačias paraštes, ir Ferma dažnai užrašydavo savo mintis ir komentarus jose. Pastabos paraštėse ir laiškai, parašyti kitiems to meto mokslininkams, tapo neįkainojamais, nors ir labai skurdžiais, ryškiausių Ferma skaičiavimų ir atradimų įrodymais. Ferma buvo tyrinėtojas mėgėjas, matematika nebuvo jo profesija, tad žinomas mokslo populiarintojas Erikas T. Belas, parašęs daugelio žymių matematikų biografijas, jį pakrikštijo „Mėgėjų kunigaikščiu“. Publikacijos ir pripažinimas jam nieko nereiškė, ir jis jautėsi laimingas, galėdamas netrikdomai atsiduoti savo aistrai įrodinėti ir kurti naujas teoremas. Ferma buvo geras šelmis ir, susisiekdamas su kitais matematikais, erzindavo juos savo paslaptingumu. Laiškuose išdėstęs savo naujausias teoremas ir nepateikęs jokių įrodymų, jis tarsi mesdavo iššūkį kitiems. Tai, jog jis niekada neatskleisdavo savo įrodymų, sukeldavo didelį nusivylimą. Rene Dekartas pavadino Ferma pagyrūnu, o anglų matematikas Džonas Valis vadindavo jį „tas prakeiktas prancūzas“. Kartą Ferma nustatė, kad skaičius 26 yra vienintelis, iš kurio atėmus 1, gausime kvadratą, o pridėjus 1 – kubą (iš tikrųjų, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_4e834ef3514d81c748574a8fb52cc31f.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="26 - 1=5^2" /></span><script type='math/tex'>26 - 1=5^2</script>, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_8904b36781eb66ab82cf6407c379bda6.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="26 + 1=3^3" /></span><script type='math/tex'>26 + 1=3^3</script>), ir metė iššūkį matematikų bendrijai, siūlydamas tai įrodyti. Nepaisant uždavinio formuluotės paprastumo, jo sprendimas buvo gana sudėtingas, ir Ferma mėgavosi, šaipydamasis iš anglų matematikų D. Valio ir K. Digbio, kurie galų gale buvo priversti prisipažinti pralaimėję, nes nesugebėjo įveikti šio uždavinio.</span></p> <p>Laimei, vyriausiasis Ferma sūnus, Klementas-Samiuelis, suvokęs visą didžiausios tėvo aistros reikšmę, nusprendė, jog jo atradimai neturėtų pradingti. Penkerius metus Klementas-Samiuelis rinko bei tyrė neaiškius tėvo užrašus bei pastabas „Aritmetikos“ paraštėse, ir atliko nepaprastai sudėtingą ir atsakingą darbą, 1670 metais Tulūzoje išleidęs knygą „Diofanto Aritmetika su p. de Ferma pastabomis“. Kai Ferma „pastabos“ tapo žinomos platesniam mokslininkų ratui, visi suprato, kad laiškai, kuriuos jis siųsdavo savo kolegoms, buvo tik trumpos ištraukos iš pasakiško atradimų lobyno. Tarp užrašytų Ferma ranka pastabų buvo gausu naujų teoremų, užrašytų visiškai be paaiškinimų, arba turėjusių tik nedidelę įrodymų santrauką, kurioje būdavo pateikiama tik keletą loginių žingsnių, leidžiančių suprasti, jog Ferma žinojo įrodymo seka.</p> <div> <dl id="attachment_2907"> <dt> <figure style="width: 810px" class="wp-caption aligncenter"><a href="http://www.konstanta.lt/wp-content/uploads/2017/01/Leonidas_Sakalauskas_1_2.png" rel="attachment wp-att-2907"><img src="http://www.konstanta.lt/wp-content/uploads/2017/01/Leonidas_Sakalauskas_1_2-1024x299.png" alt="Ferma spiralė, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_ad774a2e0cd9107d7243c9b1043bb474.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="r=\pm q^{1/2}" /></span><script type='math/tex'>r=\pm q^{1/2}</script>, r – spiralės taško atstumas nuo centro, q – jo posūkio nuo horizontalios ašies kampas" width="810" height="237" /></a><figcaption class="wp-caption-text">1 pav. Ferma spiralė, r=+- q^1/2, r – spiralės taško atstumas nuo centro, q – jo posūkio nuo horizontalios ašies kampas</figcaption></figure> </dt> <dd></dd> </dl> </div> <p>Čia vertėtų prisiminti, jog Ferma gyveno ir kūrė baigiantis vėlyvojo Renesanso epochai, kai Europoje suklestėjo baroko architektūra, menai ir knygų leidyba. Tą laikmetį geriausiai apibūdina posakis, jog trys gražiausi pasaulyje dalykai yra šokanti moteris, šuoliuojantis žirgas ir išskleistomis burėmis plaukiantis laivas. Kultūros klestėjimą lydėjo spartus pramonės ir prekybos vystymasis, nulėmęs daugelio mokslų atsiradimą ir raidą. <span lang="lt-LT">Nors Pjeras de Ferma domėjosi, iš pirmo žvilgsnio, nereikšmingais galvosūkiais, jo įžvalgų galima atrasti daugelio mokslų, pradėjusių savo plėtotę tuo metu, ištakose, ir nemažai jų pasiekė net mūsų laikus. 1636 m. Ferma atrado spiralę, vėliau pavadintą jo vardu, kurią, pasirodo, galima pritaikyti saulėgrąžos, ramunių ar kitų astrinių (graižažiedžių) augalų žiedynams aprašyti (1 pav.), bet ne tik tuo tikslu. Dabar randama būdų, kaip šią spiralę būtų galima pritaikyti kompiuterių grafikoje arba išdėstyti jos elementus saulės elektrinių veidrodžiuose, ir pan. O vyresniųjų klasių moksleiviams mokyklose dažnai tenka spręsti uždavinius, taikant minimumo arba maksimumo sąlygą, kurią pirmasis nustatė Ferma. Nepriklausomai nuo Dekarto jis pradėjo algebrines išraiškas vaizduoti geometriškai, t.y., sukūrė analitinės geometrijos pradmenis. Jis mokėjo anksčiau už Izaoką Niutoną taikyti diferencijavimo ir integravimo metodus sudėtingų figūrų plotams apskaičiuoti arba išvesti liestinėms. Beje, I. Niutonas minėjo, kad, būtent, pažintis su Ferma darbais jį paskatino sukurti diferencialinį ir integralinį skaičiavimą. Kartu su Paskaliu Ferma gali būti laikomas tikimybių teorijos pradininku. Ferma vardu pavadintas pagrindinis geometrinės optikos dėsnis, pagal kurį šviesa sklinda tokiu keliu nevienalytėje terpėje, kuriam reikia trumpiausio laiko ir t. t.</span></p> <p>Tačiau didžiausių nuopelnų Ferma pasiekė skaičių teorijoje. Ferma atrado, jei a nesidalija iš p ir p yra pirminis, tai (<span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_02c9e9fbfdf9808ca92e2699d0620080.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="a^{p-1} - 1" /></span><script type='math/tex'>a^{p-1} - 1</script>) dalijasi iš p. Pavyzdžiui, tegul a=2, p=7. Skaičius 7 yra, be abejo, pirminis. Taigi, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_3a8915de5d1781d75e0fa02bf36d8320.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="a^{p-1} - 1 = 2^{7-1} - 1 = 63 = 7 \cdot 9" /></span><script type='math/tex'>a^{p-1} - 1 = 2^{7-1} - 1 = 63 = 7 \cdot 9</script>.</p> <p>Šis rezultatas, pavadintas Mažąja Ferma teorema, turi labai daug apibendrinimų bei pritaikymų. Skaitytojams siūlome priimti Mėgėjų kunigaikščio iššūkį ir pabandyti šią teoremą įrodyti patiems. Tie, kam pritrūks kantrybės, gali rasti įrodymą straipsnelio pabaigoje.</p> <p>Ferma taip pat teigė, jog bet kurį pirminį skaičių, kuris dalijasi iš 4 su liekana 1, galima išreikšti dviejų kvadratų suma, ir tik vieninteliu būdu, o besidalijantį iš 4 su liekana 3, taip išreikšti jau nebegalima. Ir iš tikrųjų: <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_396a136ca655294787e9a18546e392ca.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="5=2^2 + 1^2" /></span><script type='math/tex'>5=2^2 + 1^2</script>; <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_1f0d630d7aab8d978be137d733783bf3.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="13=3^2+2^2" /></span><script type='math/tex'>13=3^2+2^2</script>, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_d7a875e71604f4f41584e67e6fb9644c.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="17= 4^2 + 1^2" /></span><script type='math/tex'>17= 4^2 + 1^2</script>, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_3bde5c71067f2d0732e27d1598d0e3f1.gif' style='vertical-align: middle; border: none; padding-bottom:2px;' class='tex' alt="\dots" /></span><script type='math/tex'>\dots</script> , o <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_2d913e60b3dd5fa08be63362560369af.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="23 = 4\cdot5 + 3" /></span><script type='math/tex'>23 = 4\cdot5 + 3</script> šitaip išreikšti jau nebeįmanoma. Vienas žymiausių visų laikų matematikų, šveicaras Leonardas Euleris, daug metų dirbęs Sankt Peterburge, sugaišo 7 metus, kol įrodė šią Ferma hipotezę, kurią pats Ferma įrodinėjo jo atrastu “nusileidimo metodu”. Ferma taip pat sukūrė skaičiaus daliklių sistemingo radimo būdą, atrado, jog bet kurį sveikąjį skaičių galima išreikšti ne daugiau nei keturių kvadratų suma bei daugybė kitų atradimų, kurie aplenkė savo laikmetį, buvo pamiršti ir po ilgo laiko vėl atrasti.</p> <p>1989 m. Tulūzos universitetas įsteigė Ferma premiją (20 000 Eur), kuri kas dveji metai įteikiama už reikšmingus tyrimus mokslo srityse, prie kurių ištakų jis prisidėjo. Viso jau įteikta 14 premijų.</p> <p><strong>Matematikos trilerio pradžia</strong></p> <p>O didžiausios šlovės sulaukė Ferma iššūkis, kurį jis metė visam pasauliui. Tikriausiai, daugelis skaitytojų iš vidurinės mokyklos matematikos pamokų dar prisimena Pitagoro teoremą, tvirtinančią, jog stataus trikampio statinių kvadratų suma yra lygi įstrižainės kvadratui? Sprendiniai, kuriuos galima išreikšti sveikais skaičiais, yra įdomiausi, pvz., jei stačiakampio kambario sienų ilgiai yra atitinkamai 3m ir 4m, tai nesunku įsitikinti, jog atstumas tarp tolimiausių kambario kampų bus 5m, nes <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_cee2f7da80b8bed0fb6a32465ed8978a.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="9 + 16 = 25" /></span><script type='math/tex'>9 + 16 = 25</script>, t.y., <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_b296e6b49ff070377fbf9fedc5929ab4.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="3^2 + 4^2 = 5^2" /></span><script type='math/tex'>3^2 + 4^2 = 5^2</script>. Taigi, perrašinėdamas įvairiais būdais Pitagoro lygtį, Ferma mėgino pastebėti kažką tokio, ko nepastebėjo kiti. Staiga jam kilo geniali mintis, kuri padarė Mėgėjų kunigaikščio vardą nemirtingą.</p> <p>Ferma sugalvojo lygtį, labai panašią į Pitagoro:</p> <p align="CENTER"><span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_ba5af5de44ecd6964b3f80b676045a2a.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="x^n + y^n = z^n" /></span><script type='math/tex'>x^n + y^n = z^n</script>,</p> <p>kuri, jo nuomone, neturi nė vieno sveikaskaičio sprendinio! Diofanto „Aritmetikos“ paraštėse Ferma 1637 m. paliko tokį pastebėjimą: „Neįmanoma kubo užrašyti dviejų kubų suma, arba ketvirtą laipsnį užrašyti ketvirtų laipsnių suma, arba, bendrai bet kuriam skaičiui, kuris yra aukštesnio laipsnio, nei antras, būti užrašytam dviejų to paties laipsnio skaičių suma. Aš radau iš tiesų nuostabų šio teiginio įrodymą, bet paraštės čia per siauros jam sutalpinti.“ Ir tame visas Ferma! Nors jis niekam neatskleidė savo įrodymo, garsas apie Didžiąją Ferma teoremą, kaip ji vėliau buvo pradėta vadinti, pasklido labai plačiai.</p> <p>Per dešimtmečius ir šimtmečius, praėjusius po knygos su Ferma pastabomis išleidimo, viena po kitos buvo patikrintos arba įrodytos visos Ferma pastabos, užrašytos Diofanto „Aritmetikos“ paraštėse, bet pastangos įrodyti Didžiąją Ferma teoremą likdavo bergždžios, nors spręsti šį uždavinį ėmėsi daugelis profesionalių matematikų ir matematikos mėgėjų. Apie šio matematikos trilerio peripetijas pakalbėsime kitąkart, nes viename straipsnelyje jas nėra paprasta išguldyti.</p> <p><strong>Mažosios Ferma teoremos įrodymas</strong></p> <p>Įrodysime prieštaros būdu, kad jei <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_b5569b7982357230d5fa7b02ee8ead86.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="a^{p-1}" /></span><script type='math/tex'>a^{p-1}</script> nesidalija iš p, tai padalijus visus sekos <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_8fb7dd4585e68c3b54875b137b19d6af.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="1\cdot a, 2\cdot a, 3\cdot a, \ldots, (p-1) \cdot a" /></span><script type='math/tex'>1\cdot a, 2\cdot a, 3\cdot a, \ldots, (p-1) \cdot a</script> narius iš p, liekanos irgi bus skirtingos. Iš tikrųjų, sakykime, tegul pavyktų rasti du skirtingus šios sekos narius, besidalijančius iš p su vienodomis liekanomis. Tuomet šių skaičių skirtumas, be abejo, turi dalintis iš p, nes liekanos juk vienodos. Kita vertus, kadangi visi sekos nariai dalijasi iš a, bet kurių skirtingų šios sekos narių skirtumas turi dalintis iš a taip pat. Kadangi skaičius a nesidalija iš p pagal padarytą prielaidą, minėtas skirtumas turi dalintis iš sandaugos a∙p. Kita vertus, skirtingų sekos skaičių skirtumas yra nelygus nuliui, tad jo mažiausia galima reikšmė yra a∙p. Tačiau nagrinėjamoje sekoje visi skaičiai mažesni už a∙p, tad ir jų skirtumas turi būti mažesnis (absoliutiniu didumu) už šį skaičių. Gavome prieštaravimą, nes padalinti skaičių iš didesniojo ir gauti sveiką dalmenį yra neįmanoma. Taigi, įrodėme, jog dalijant aukščiau minėtos sekos narius iš p, bus gautos skirtingos liekanos. Tad liekanos, kurių iš viso yra (p - 1), turi būti skirtingos ir mažesnės už p. Tai įmanoma tik tokiu atveju, kai liekanų aibę sudaro visi skaičiai nuo 1 iki p – 1.<br /> Pažymėkime, kaip įprasta matematikoje, visų skaičių nuo 1 iki p-1 sandaugą per <code class='tex2jax_ignore'>\((p - 1)\)</code>, t.y. <code class='tex2jax_ignore'>\(1\cdot 2\cdot 3∙\ldots\cdot (p - 1) =(p - 1)\)</code>. Dabar sudauginkime visus nagrinėjamos sekos narius ir gautą sandaugą užrašykime tokiu būdu:</p> <p align="CENTER"><span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_306cb02ec42106c5a5c7acd3423052d8.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="1\cdot a\cdot 2\cdot a\cdot 3\cdot a\cdot \ldots \cdot (p - 1) \cdot a=(p - 1)! \cdot a^{p-1}" /></span><script type='math/tex'>1\cdot a\cdot 2\cdot a\cdot 3\cdot a\cdot \ldots \cdot (p - 1) \cdot a=(p - 1)! \cdot a^{p-1}</script>.</p> <p>Kadangi nė vienas šios sandaugos dauginamasis nesidalija iš p, iš p nesidalija ir visa sandauga. Nesunku pastebėti, jog šią sandaugą padalijus iš p, gauta liekana sutaps su visų dauginamųjų liekanų sandaugos liekana. O ką tik įrodėme, jog ši dauginamųjų liekanų sandauga sutaps su visų skirtingų skaičių nuo 1 iki p-1 sandauga, t.y., <code class='tex2jax_ignore'>\((p - 1)\)</code> Taigi, gausime, kad <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_aa98ad1a4cb096dbaeab33933c22cd77.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="(p - 1)! \cdot a^{p-1}" /></span><script type='math/tex'>(p - 1)! \cdot a^{p-1}</script> ir <code class='tex2jax_ignore'>\((p - 1)\)</code> , dalijant iš p, turi tą pačią liekaną. Iš čia seka, kad skirtumas <code class='tex2jax_ignore'>\((p - 1)! \cdot a^{p-1} - (p - 1)\)</code> turi dalintis iš p. Pastarąją išraišką suprastinę iš nesidalijančio iš p skaičiaus <code class='tex2jax_ignore'>\((p - 1)\)</code> (juk p pirminis!), gauname, jog <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_8ce1b658d8b24f2be7d61bb187bec3f0.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="a^{p-1} ? 1" /></span><script type='math/tex'>a^{p-1} ? 1</script> turi dalintis iš p, ką ir reikėjo įrodyti.</p>
 
 
Medeišio fanklubas

Originally published at Konstanta-42. Please leave any comments there.

Nors mokslo populiarinimo konkursas jau baigėsi, jam buvo atsiųstas dar vienas darbas. Tiksliau - darbų ciklas. Darbų autorius - VU Matematikos ir informatikos instituto profesorius Leonidas Sakalauskas. Jis rašo apie garsųjį matematiką Pierre Fermat bei jo atradimus. Skaitykite tekstą žemiau.

Matematikos mėgėjų kunigaiščio iššūkis keliems šimtmečiams

Leonidas Sakalauskas, VU Matematikos ir informatikos institutas

Didžiosios Ferma teoremos istorija yra unikali. Joje susipynė mirtis ir apgavystė, dėl jos vieni kovėsi dvikovoje, kiti nusivylę rasti įrodymą, baigdavo savo gyvenimą savižudybe. Už jos įrodymą buvo siūlomos premijos, dėl kurių varžėsi didžiausi protai. Šiame straipsnelyje papasakosime, kaip gimė šis matematikos trileris, užtrukęs kelis šimtmečius.

Pjeras de Ferma (1601-1665) ir Diofanto „Aritmetikos“ leidinys, kurio paraštėse jis rašė pastabas
Pjeras de Ferma (1601-1665) ir Diofanto „Aritmetikos“ leidinys, kurio paraštėse jis rašė pastabas

Mėgėjų kunigaikščio iššūkiai

Pjeras de Ferma pradėjo teisininko karjerą 1631 metais Prancūzijoje, Tulūzos parlamente patarėju. Jis neturėjo didelių politinių ambicijų ir todėl stengėsi veiksmingai atlikti savo pareigas, neatkreipdamas į save didelio dėmesio bei vengdamas netvarkos ar grubumo parlamente. Amžininkai jį apibūdindavo kaip sąžiningą, kruopštų, ramų ir malonų žmogų, turintį puikų matematinį bei humanitarinį išsilavinimą, daugelio senųjų ir gyvųjų kalbų žinovą, rašiusį nuostabias eiles. Visą savo energiją ir laisvą laiką, likdavusį nuo tarnybos, ponas Ferma skirdavo loginiams galvosūkiams spręsti, ir, kai jam nereikėjo posėdžiauti, pasiunčiant dar vieną nusidėjėlį ant laužo ar ešafoto, jis pasinerdavo į savo mėgstamą užsiėmimą. Nors Ferma nerašė jokių knygų, o tik laiškus draugams ar į galvą atėjusias geras mintis, palaipsniui jis tapo vienu iš labiausiai pripažintų Prancūzijos matematikų. Pagrindinis jo įkvėpimo šaltinis buvo 1621 metais išleistas lotyniškas Diofanto vadovėlio „Aritmetika“ vertimas. Spręsdamas Diofanto lygtis, o paskui pats pradėjęs kurti uždavinius bei teoremas, Ferma užsirašydavo tik pačius būtiniausius dalykus, reikalingus įsitikinti sprendimo teisingumu, ir nesivargindavo kur nors užrašyti likusį įrodymą. Dažniausiai paskubom padaryti užrašai keliaudavo tiesiai į šiukšlių dėžę, o Ferma ramiausiai pereidavo prie kito uždavinio. Laimei, jo turimas „Aritmetikos“ vertimas turėjo plačias paraštes, ir Ferma dažnai užrašydavo savo mintis ir komentarus jose. Pastabos paraštėse ir laiškai, parašyti kitiems to meto mokslininkams, tapo neįkainojamais, nors ir labai skurdžiais, ryškiausių Ferma skaičiavimų ir atradimų įrodymais. Ferma buvo tyrinėtojas mėgėjas, matematika nebuvo jo profesija, tad žinomas mokslo populiarintojas Erikas T. Belas, parašęs daugelio žymių matematikų biografijas, jį pakrikštijo „Mėgėjų kunigaikščiu“. Publikacijos ir pripažinimas jam nieko nereiškė, ir jis jautėsi laimingas, galėdamas netrikdomai atsiduoti savo aistrai įrodinėti ir kurti naujas teoremas. Ferma buvo geras šelmis ir, susisiekdamas su kitais matematikais, erzindavo juos savo paslaptingumu. Laiškuose išdėstęs savo naujausias teoremas ir nepateikęs jokių įrodymų, jis tarsi mesdavo iššūkį kitiems. Tai, jog jis niekada neatskleisdavo savo įrodymų, sukeldavo didelį nusivylimą. Rene Dekartas pavadino Ferma pagyrūnu, o anglų matematikas Džonas Valis vadindavo jį „tas prakeiktas prancūzas“. Kartą Ferma nustatė, kad skaičius 26 yra vienintelis, iš kurio atėmus 1, gausime kvadratą, o pridėjus 1 – kubą (iš tikrųjų, 26 - 1=5^2, 26 + 1=3^3), ir metė iššūkį matematikų bendrijai, siūlydamas tai įrodyti. Nepaisant uždavinio formuluotės paprastumo, jo sprendimas buvo gana sudėtingas, ir Ferma mėgavosi, šaipydamasis iš anglų matematikų D. Valio ir K. Digbio, kurie galų gale buvo priversti prisipažinti pralaimėję, nes nesugebėjo įveikti šio uždavinio.

Laimei, vyriausiasis Ferma sūnus, Klementas-Samiuelis, suvokęs visą didžiausios tėvo aistros reikšmę, nusprendė, jog jo atradimai neturėtų pradingti. Penkerius metus Klementas-Samiuelis rinko bei tyrė neaiškius tėvo užrašus bei pastabas „Aritmetikos“ paraštėse, ir atliko nepaprastai sudėtingą ir atsakingą darbą, 1670 metais Tulūzoje išleidęs knygą „Diofanto Aritmetika su p. de Ferma pastabomis“. Kai Ferma „pastabos“ tapo žinomos platesniam mokslininkų ratui, visi suprato, kad laiškai, kuriuos jis siųsdavo savo kolegoms, buvo tik trumpos ištraukos iš pasakiško atradimų lobyno. Tarp užrašytų Ferma ranka pastabų buvo gausu naujų teoremų, užrašytų visiškai be paaiškinimų, arba turėjusių tik nedidelę įrodymų santrauką, kurioje būdavo pateikiama tik keletą loginių žingsnių, leidžiančių suprasti, jog Ferma žinojo įrodymo seka.

[Error: Irreparable invalid markup ('<img [...] q^{1/2}">') in entry. Owner must fix manually. Raw contents below.]

<p><small>Originally published at <a href="http://www.konstanta.lt/2017/01/matematikos-megeju-kunigaiscio-issukis-keliems-simtmeciams/">Konstanta-42</a>. Please leave any <a href="http://www.konstanta.lt/2017/01/matematikos-megeju-kunigaiscio-issukis-keliems-simtmeciams/#comments">comments</a> there.</small></p><p>Nors mokslo populiarinimo konkursas jau baigėsi, jam buvo atsiųstas dar vienas darbas. Tiksliau - darbų ciklas. Darbų autorius - VU Matematikos ir informatikos instituto profesorius Leonidas Sakalauskas. Jis rašo apie garsųjį matematiką Pierre Fermat bei jo atradimus. Skaitykite tekstą žemiau.</p> <p align="CENTER"><strong>Matematikos mėgėjų kunigaiščio iššūkis keliems šimtmečiams</strong></p> <p style="text-align: right;" align="CENTER">Leonidas Sakalauskas, VU Matematikos ir informatikos institutas</p> <p>Didžiosios Ferma teoremos istorija yra unikali. Joje susipynė mirtis ir apgavystė, dėl jos vieni kovėsi dvikovoje, kiti nusivylę rasti įrodymą, baigdavo savo gyvenimą savižudybe. Už jos įrodymą buvo siūlomos premijos, dėl kurių varžėsi didžiausi protai. Šiame straipsnelyje papasakosime, kaip gimė šis matematikos trileris, užtrukęs kelis šimtmečius.</p> <div> <dl id="attachment_2906"> <dt> <figure style="width: 643px" class="wp-caption aligncenter"><a href="http://www.konstanta.lt/wp-content/uploads/2017/01/Leonidas_Sakalauskas_1_1.png" rel="attachment wp-att-2906"><img src="http://www.konstanta.lt/wp-content/uploads/2017/01/Leonidas_Sakalauskas_1_1.png" alt="Pjeras de Ferma (1601-1665) ir Diofanto „Aritmetikos“ leidinys, kurio paraštėse jis rašė pastabas" width="643" height="431" /></a><figcaption class="wp-caption-text">Pjeras de Ferma (1601-1665) ir Diofanto „Aritmetikos“ leidinys, kurio paraštėse jis rašė pastabas</figcaption></figure> </dt> <dd></dd> </dl> </div> <p><strong>Mėgėjų kunigaikščio iššūkiai </strong></p> <p>Pjeras de Ferma pradėjo teisininko karjerą 1631 metais Prancūzijoje, Tulūzos parlamente patarėju. J<span lang="lt-LT">is neturėjo didelių politinių ambicijų ir todėl stengėsi veiksmingai atlikti savo pareigas, neatkreipdamas į save didelio dėmesio bei vengdamas netvarkos ar grubumo parlamente. </span><span lang="lt-LT">Amžininkai jį apibūdindavo kaip sąžiningą, kruopštų, ramų ir malonų žmogų, turintį puikų matematinį bei humanitarinį išsilavinimą, daugelio senųjų ir gyvųjų kalbų žinovą, rašiusį nuostabias eiles. </span><span lang="lt-LT">Visą savo energiją ir laisvą laiką, likdavusį nuo tarnybos, ponas Ferma skirdavo loginiams galvosūkiams spręsti, ir, kai jam nereikėjo posėdžiauti, pasiunčiant dar vieną nusidėjėlį ant laužo ar ešafoto, jis pasinerdavo į savo mėgstamą užsiėmimą. Nors Ferma nerašė jokių knygų, o tik laiškus draugams ar į galvą atėjusias geras mintis, palaipsniui jis tapo vienu iš labiausiai pripažintų Prancūzijos matematikų. Pagrindinis jo įkvėpimo šaltinis buvo 1621 metais išleistas lotyniškas Diofanto vadovėlio „Aritmetika“ vertimas. Spręsdamas Diofanto lygtis, o paskui pats pradėjęs kurti uždavinius bei teoremas, Ferma užsirašydavo tik pačius būtiniausius dalykus, reikalingus įsitikinti sprendimo teisingumu, ir nesivargindavo kur nors užrašyti likusį įrodymą. Dažniausiai paskubom padaryti užrašai keliaudavo tiesiai į šiukšlių dėžę, o Ferma ramiausiai pereidavo prie kito uždavinio. Laimei, jo turimas „Aritmetikos“ vertimas turėjo plačias paraštes, ir Ferma dažnai užrašydavo savo mintis ir komentarus jose. Pastabos paraštėse ir laiškai, parašyti kitiems to meto mokslininkams, tapo neįkainojamais, nors ir labai skurdžiais, ryškiausių Ferma skaičiavimų ir atradimų įrodymais. Ferma buvo tyrinėtojas mėgėjas, matematika nebuvo jo profesija, tad žinomas mokslo populiarintojas Erikas T. Belas, parašęs daugelio žymių matematikų biografijas, jį pakrikštijo „Mėgėjų kunigaikščiu“. Publikacijos ir pripažinimas jam nieko nereiškė, ir jis jautėsi laimingas, galėdamas netrikdomai atsiduoti savo aistrai įrodinėti ir kurti naujas teoremas. Ferma buvo geras šelmis ir, susisiekdamas su kitais matematikais, erzindavo juos savo paslaptingumu. Laiškuose išdėstęs savo naujausias teoremas ir nepateikęs jokių įrodymų, jis tarsi mesdavo iššūkį kitiems. Tai, jog jis niekada neatskleisdavo savo įrodymų, sukeldavo didelį nusivylimą. Rene Dekartas pavadino Ferma pagyrūnu, o anglų matematikas Džonas Valis vadindavo jį „tas prakeiktas prancūzas“. Kartą Ferma nustatė, kad skaičius 26 yra vienintelis, iš kurio atėmus 1, gausime kvadratą, o pridėjus 1 – kubą (iš tikrųjų, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_4e834ef3514d81c748574a8fb52cc31f.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="26 - 1=5^2" /></span><script type='math/tex'>26 - 1=5^2</script>, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_8904b36781eb66ab82cf6407c379bda6.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="26 + 1=3^3" /></span><script type='math/tex'>26 + 1=3^3</script>), ir metė iššūkį matematikų bendrijai, siūlydamas tai įrodyti. Nepaisant uždavinio formuluotės paprastumo, jo sprendimas buvo gana sudėtingas, ir Ferma mėgavosi, šaipydamasis iš anglų matematikų D. Valio ir K. Digbio, kurie galų gale buvo priversti prisipažinti pralaimėję, nes nesugebėjo įveikti šio uždavinio.</span></p> <p>Laimei, vyriausiasis Ferma sūnus, Klementas-Samiuelis, suvokęs visą didžiausios tėvo aistros reikšmę, nusprendė, jog jo atradimai neturėtų pradingti. Penkerius metus Klementas-Samiuelis rinko bei tyrė neaiškius tėvo užrašus bei pastabas „Aritmetikos“ paraštėse, ir atliko nepaprastai sudėtingą ir atsakingą darbą, 1670 metais Tulūzoje išleidęs knygą „Diofanto Aritmetika su p. de Ferma pastabomis“. Kai Ferma „pastabos“ tapo žinomos platesniam mokslininkų ratui, visi suprato, kad laiškai, kuriuos jis siųsdavo savo kolegoms, buvo tik trumpos ištraukos iš pasakiško atradimų lobyno. Tarp užrašytų Ferma ranka pastabų buvo gausu naujų teoremų, užrašytų visiškai be paaiškinimų, arba turėjusių tik nedidelę įrodymų santrauką, kurioje būdavo pateikiama tik keletą loginių žingsnių, leidžiančių suprasti, jog Ferma žinojo įrodymo seka.</p> <div> <dl id="attachment_2907"> <dt> <figure style="width: 810px" class="wp-caption aligncenter"><a href="http://www.konstanta.lt/wp-content/uploads/2017/01/Leonidas_Sakalauskas_1_2.png" rel="attachment wp-att-2907"><img src="http://www.konstanta.lt/wp-content/uploads/2017/01/Leonidas_Sakalauskas_1_2-1024x299.png" alt="Ferma spiralė, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_ad774a2e0cd9107d7243c9b1043bb474.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="r=\pm q^{1/2}" /></span><script type='math/tex'>r=\pm q^{1/2}</script>, r – spiralės taško atstumas nuo centro, q – jo posūkio nuo horizontalios ašies kampas" width="810" height="237" /></a><figcaption class="wp-caption-text">1 pav. Ferma spiralė, r=+- q^1/2, r – spiralės taško atstumas nuo centro, q – jo posūkio nuo horizontalios ašies kampas</figcaption></figure> </dt> <dd></dd> </dl> </div> <p>Čia vertėtų prisiminti, jog Ferma gyveno ir kūrė baigiantis vėlyvojo Renesanso epochai, kai Europoje suklestėjo baroko architektūra, menai ir knygų leidyba. Tą laikmetį geriausiai apibūdina posakis, jog trys gražiausi pasaulyje dalykai yra šokanti moteris, šuoliuojantis žirgas ir išskleistomis burėmis plaukiantis laivas. Kultūros klestėjimą lydėjo spartus pramonės ir prekybos vystymasis, nulėmęs daugelio mokslų atsiradimą ir raidą. <span lang="lt-LT">Nors Pjeras de Ferma domėjosi, iš pirmo žvilgsnio, nereikšmingais galvosūkiais, jo įžvalgų galima atrasti daugelio mokslų, pradėjusių savo plėtotę tuo metu, ištakose, ir nemažai jų pasiekė net mūsų laikus. 1636 m. Ferma atrado spiralę, vėliau pavadintą jo vardu, kurią, pasirodo, galima pritaikyti saulėgrąžos, ramunių ar kitų astrinių (graižažiedžių) augalų žiedynams aprašyti (1 pav.), bet ne tik tuo tikslu. Dabar randama būdų, kaip šią spiralę būtų galima pritaikyti kompiuterių grafikoje arba išdėstyti jos elementus saulės elektrinių veidrodžiuose, ir pan. O vyresniųjų klasių moksleiviams mokyklose dažnai tenka spręsti uždavinius, taikant minimumo arba maksimumo sąlygą, kurią pirmasis nustatė Ferma. Nepriklausomai nuo Dekarto jis pradėjo algebrines išraiškas vaizduoti geometriškai, t.y., sukūrė analitinės geometrijos pradmenis. Jis mokėjo anksčiau už Izaoką Niutoną taikyti diferencijavimo ir integravimo metodus sudėtingų figūrų plotams apskaičiuoti arba išvesti liestinėms. Beje, I. Niutonas minėjo, kad, būtent, pažintis su Ferma darbais jį paskatino sukurti diferencialinį ir integralinį skaičiavimą. Kartu su Paskaliu Ferma gali būti laikomas tikimybių teorijos pradininku. Ferma vardu pavadintas pagrindinis geometrinės optikos dėsnis, pagal kurį šviesa sklinda tokiu keliu nevienalytėje terpėje, kuriam reikia trumpiausio laiko ir t. t.</span></p> <p>Tačiau didžiausių nuopelnų Ferma pasiekė skaičių teorijoje. Ferma atrado, jei a nesidalija iš p ir p yra pirminis, tai (<span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_02c9e9fbfdf9808ca92e2699d0620080.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="a^{p-1} - 1" /></span><script type='math/tex'>a^{p-1} - 1</script>) dalijasi iš p. Pavyzdžiui, tegul a=2, p=7. Skaičius 7 yra, be abejo, pirminis. Taigi, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_3a8915de5d1781d75e0fa02bf36d8320.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="a^{p-1} - 1 = 2^{7-1} - 1 = 63 = 7 \cdot 9" /></span><script type='math/tex'>a^{p-1} - 1 = 2^{7-1} - 1 = 63 = 7 \cdot 9</script>.</p> <p>Šis rezultatas, pavadintas Mažąja Ferma teorema, turi labai daug apibendrinimų bei pritaikymų. Skaitytojams siūlome priimti Mėgėjų kunigaikščio iššūkį ir pabandyti šią teoremą įrodyti patiems. Tie, kam pritrūks kantrybės, gali rasti įrodymą straipsnelio pabaigoje.</p> <p>Ferma taip pat teigė, jog bet kurį pirminį skaičių, kuris dalijasi iš 4 su liekana 1, galima išreikšti dviejų kvadratų suma, ir tik vieninteliu būdu, o besidalijantį iš 4 su liekana 3, taip išreikšti jau nebegalima. Ir iš tikrųjų: <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_396a136ca655294787e9a18546e392ca.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="5=2^2 + 1^2" /></span><script type='math/tex'>5=2^2 + 1^2</script>; <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_1f0d630d7aab8d978be137d733783bf3.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="13=3^2+2^2" /></span><script type='math/tex'>13=3^2+2^2</script>, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_d7a875e71604f4f41584e67e6fb9644c.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="17= 4^2 + 1^2" /></span><script type='math/tex'>17= 4^2 + 1^2</script>, <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_3bde5c71067f2d0732e27d1598d0e3f1.gif' style='vertical-align: middle; border: none; padding-bottom:2px;' class='tex' alt="\dots" /></span><script type='math/tex'>\dots</script> , o <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_2d913e60b3dd5fa08be63362560369af.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="23 = 4\cdot5 + 3" /></span><script type='math/tex'>23 = 4\cdot5 + 3</script> šitaip išreikšti jau nebeįmanoma. Vienas žymiausių visų laikų matematikų, šveicaras Leonardas Euleris, daug metų dirbęs Sankt Peterburge, sugaišo 7 metus, kol įrodė šią Ferma hipotezę, kurią pats Ferma įrodinėjo jo atrastu “nusileidimo metodu”. Ferma taip pat sukūrė skaičiaus daliklių sistemingo radimo būdą, atrado, jog bet kurį sveikąjį skaičių galima išreikšti ne daugiau nei keturių kvadratų suma bei daugybė kitų atradimų, kurie aplenkė savo laikmetį, buvo pamiršti ir po ilgo laiko vėl atrasti.</p> <p>1989 m. Tulūzos universitetas įsteigė Ferma premiją (20 000 Eur), kuri kas dveji metai įteikiama už reikšmingus tyrimus mokslo srityse, prie kurių ištakų jis prisidėjo. Viso jau įteikta 14 premijų.</p> <p><strong>Matematikos trilerio pradžia</strong></p> <p>O didžiausios šlovės sulaukė Ferma iššūkis, kurį jis metė visam pasauliui. Tikriausiai, daugelis skaitytojų iš vidurinės mokyklos matematikos pamokų dar prisimena Pitagoro teoremą, tvirtinančią, jog stataus trikampio statinių kvadratų suma yra lygi įstrižainės kvadratui? Sprendiniai, kuriuos galima išreikšti sveikais skaičiais, yra įdomiausi, pvz., jei stačiakampio kambario sienų ilgiai yra atitinkamai 3m ir 4m, tai nesunku įsitikinti, jog atstumas tarp tolimiausių kambario kampų bus 5m, nes <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_cee2f7da80b8bed0fb6a32465ed8978a.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="9 + 16 = 25" /></span><script type='math/tex'>9 + 16 = 25</script>, t.y., <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_b296e6b49ff070377fbf9fedc5929ab4.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="3^2 + 4^2 = 5^2" /></span><script type='math/tex'>3^2 + 4^2 = 5^2</script>. Taigi, perrašinėdamas įvairiais būdais Pitagoro lygtį, Ferma mėgino pastebėti kažką tokio, ko nepastebėjo kiti. Staiga jam kilo geniali mintis, kuri padarė Mėgėjų kunigaikščio vardą nemirtingą.</p> <p>Ferma sugalvojo lygtį, labai panašią į Pitagoro:</p> <p align="CENTER"><span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_ba5af5de44ecd6964b3f80b676045a2a.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="x^n + y^n = z^n" /></span><script type='math/tex'>x^n + y^n = z^n</script>,</p> <p>kuri, jo nuomone, neturi nė vieno sveikaskaičio sprendinio! Diofanto „Aritmetikos“ paraštėse Ferma 1637 m. paliko tokį pastebėjimą: „Neįmanoma kubo užrašyti dviejų kubų suma, arba ketvirtą laipsnį užrašyti ketvirtų laipsnių suma, arba, bendrai bet kuriam skaičiui, kuris yra aukštesnio laipsnio, nei antras, būti užrašytam dviejų to paties laipsnio skaičių suma. Aš radau iš tiesų nuostabų šio teiginio įrodymą, bet paraštės čia per siauros jam sutalpinti.“ Ir tame visas Ferma! Nors jis niekam neatskleidė savo įrodymo, garsas apie Didžiąją Ferma teoremą, kaip ji vėliau buvo pradėta vadinti, pasklido labai plačiai.</p> <p>Per dešimtmečius ir šimtmečius, praėjusius po knygos su Ferma pastabomis išleidimo, viena po kitos buvo patikrintos arba įrodytos visos Ferma pastabos, užrašytos Diofanto „Aritmetikos“ paraštėse, bet pastangos įrodyti Didžiąją Ferma teoremą likdavo bergždžios, nors spręsti šį uždavinį ėmėsi daugelis profesionalių matematikų ir matematikos mėgėjų. Apie šio matematikos trilerio peripetijas pakalbėsime kitąkart, nes viename straipsnelyje jas nėra paprasta išguldyti.</p> <p><strong>Mažosios Ferma teoremos įrodymas</strong></p> <p>Įrodysime prieštaros būdu, kad jei <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_b5569b7982357230d5fa7b02ee8ead86.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="a^{p-1}" /></span><script type='math/tex'>a^{p-1}</script> nesidalija iš p, tai padalijus visus sekos <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_2d89a09bb030be8f676522d6d5b28e63.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="1\cdot a, 2\cdot a, 3\cdot a, \dots, (p-1) \cdot a" /></span><script type='math/tex'>1\cdot a, 2\cdot a, 3\cdot a, \dots, (p-1) \cdot a</script> narius iš p, liekanos irgi bus skirtingos. Iš tikrųjų, sakykime, tegul pavyktų rasti du skirtingus šios sekos narius, besidalijančius iš p su vienodomis liekanomis. Tuomet šių skaičių skirtumas, be abejo, turi dalintis iš p, nes liekanos juk vienodos. Kita vertus, kadangi visi sekos nariai dalijasi iš a, bet kurių skirtingų šios sekos narių skirtumas turi dalintis iš a taip pat. Kadangi skaičius a nesidalija iš p pagal padarytą prielaidą, minėtas skirtumas turi dalintis iš sandaugos a∙p. Kita vertus, skirtingų sekos skaičių skirtumas yra nelygus nuliui, tad jo mažiausia galima reikšmė yra a∙p. Tačiau nagrinėjamoje sekoje visi skaičiai mažesni už a∙p, tad ir jų skirtumas turi būti mažesnis (absoliutiniu didumu) už šį skaičių. Gavome prieštaravimą, nes padalinti skaičių iš didesniojo ir gauti sveiką dalmenį yra neįmanoma. Taigi, įrodėme, jog dalijant aukščiau minėtos sekos narius iš p, bus gautos skirtingos liekanos. Tad liekanos, kurių iš viso yra (p - 1), turi būti skirtingos ir mažesnės už p. Tai įmanoma tik tokiu atveju, kai liekanų aibę sudaro visi skaičiai nuo 1 iki p – 1.<br /> Pažymėkime, kaip įprasta matematikoje, visų skaičių nuo 1 iki p-1 sandaugą per <code class='tex2jax_ignore'>\((p - 1)\)</code>, t.y. <code class='tex2jax_ignore'>\(1\cdot 2\cdot 3∙\dots\cdot (p - 1) =(p - 1)\)</code>. Dabar sudauginkime visus nagrinėjamos sekos narius ir gautą sandaugą užrašykime tokiu būdu:</p> <p align="CENTER"><span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_efac266158b010542b141294e18afdc7.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="1\cdot a\cdot 2\cdot a\cdot 3\cdot a\cdot \dots \cdot (p - 1) \cdot a=(p - 1)! \cdot a^{p-1}" /></span><script type='math/tex'>1\cdot a\cdot 2\cdot a\cdot 3\cdot a\cdot \dots \cdot (p - 1) \cdot a=(p - 1)! \cdot a^{p-1}</script>.</p> <p>Kadangi nė vienas šios sandaugos dauginamasis nesidalija iš p, iš p nesidalija ir visa sandauga. Nesunku pastebėti, jog šią sandaugą padalijus iš p, gauta liekana sutaps su visų dauginamųjų liekanų sandaugos liekana. O ką tik įrodėme, jog ši dauginamųjų liekanų sandauga sutaps su visų skirtingų skaičių nuo 1 iki p-1 sandauga, t.y., <code class='tex2jax_ignore'>\((p - 1)\)</code> Taigi, gausime, kad <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_aa98ad1a4cb096dbaeab33933c22cd77.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="(p - 1)! \cdot a^{p-1}" /></span><script type='math/tex'>(p - 1)! \cdot a^{p-1}</script> ir <code class='tex2jax_ignore'>\((p - 1)\)</code> , dalijant iš p, turi tą pačią liekaną. Iš čia seka, kad skirtumas <code class='tex2jax_ignore'>\((p - 1)! \cdot a^{p-1} - (p - 1)\)</code> turi dalintis iš p. Pastarąją išraišką suprastinę iš nesidalijančio iš p skaičiaus <code class='tex2jax_ignore'>\((p - 1)\)</code> (juk p pirminis!), gauname, jog <span class='MathJax_Preview'><img src='http://www.konstanta.lt/wp-content/plugins/latex/cache/tex_8ce1b658d8b24f2be7d61bb187bec3f0.gif' style='vertical-align: middle; border: none; ' class='tex' alt="a^{p-1} ? 1" /></span><script type='math/tex'>a^{p-1} ? 1</script> turi dalintis iš p, ką ir reikėjo įrodyti.</p>